矢量

我们目前考虑过的所有运动都是沿着直线的，也就是直线运动。现在，我们必须走得更远。通过分析最简单的例子，并抛弃对所有复杂情形的尝试，我们有了对自然法则的最初步理解。直线比曲线简单，然而，仅仅理解直线运动是远远不够的。月亮、地球和行星的运动都是曲线运动，它们也都是成功使用经典力学原理的典范。从直线运动到曲线运动会带来全新的难题。若是希望能在理解给出第一条线索的经典力学原理之后，将此作为科学发展的新起点，我们必须勇于克服这些难题。

我们来想象另一个理想实验，一个完美的球在光滑的桌面上匀速滚动。我们知道，如果球被推动，也就是说，受到外力作用，速度将会改变。假设和推车的例子不同，推力的方向和运动的方向并不一致，且不在一条直线上，比如说，是和运动方向成直角的方向，会发生什么？此时的运动可以分为三个阶段：初始运动、力的作用、力终止后的最终运动。根据惯性定律，力作用前后小球都做匀速直线运动，但是在力作用前后的匀速直线运动之间有一个区别：方向变了。球的初始轨迹和力的方向成直角，最终运动的方向将不会沿着其中任何一个，而是位于两者中间的某个方向：如果推力比较大而初始速度小，就会更接近力的方向；如果推力轻微而初始速度更大，则会更接近起初的运动轨迹。根据惯性定律，我们得到的新结论是：通常情况下，外力作用改变的不仅是速率，还有运动的方向。理解了这一现象，我们就准备好接受物理学中的矢量概念了。

我们可以继续使用简单的推理方法。起点依然是伽利略的惯性定律，离穷尽这一极具价值的线索来解开运动之谜，我们还远着呢。

试想在同一光滑台面上、沿着不同方向运动的两个球。为了让画面更直观，我们可以假设，这两个方向互相垂直。由于没有外力的作用，两者的运动都是绝对匀速直线的。再进一步假设，两者的速率也是一样的，也就是说，两个球在同样的时间段内会移动同样的距离。但是，我们能因此说这两个球就有相同的速度吗？答案可以说是也可以说不是！如果两辆车的记速器都显示每小时40英里（17.9米/秒），那往往就会说它们的速率或者速度一样，而不会考虑它们行驶的方向。但是，科学必须创造专属的语言和概念，服务于专门的用途。科学概念常常来自用于描述日常事件的通俗表达，但是发展出了截然不同的含义。它们失去了作为通俗用语时的模棱两可，获得了严谨的定义从而可以运用于科学思考。

从物理学家的角度看，认为这两个沿着不同方向运动的球有着不一样的速度是更合适的。尽管这只是出于习惯，但说四辆从同一个环形交通路口开向不同公路的车速度不同更为方便，尽管在计速器上显示的速率都是每小时40英里。速率和速度的差别说明，物理学家是如何从日常观念出发，对其改造，使其在更长远的科学发展中结出丰硕成果的。

假如长度被测量之后，要用一个带单位的数字来表示测量结果。那么，手杖的长度大约是3英尺7英寸（约合1.1米），某个物体的重量是2磅3盎司（约合992克），一个时间段则是多少分钟或者多少秒。在这些例子中，每一个测量的结果都由数字表示。然而，单独的数字是不足以描述某些物理概念的。对这一事实的认识标志着科学观察的巨大飞跃。

举例而言，方向和数字一样，对于描述速度至关重要。这样一个量，既有大小又有方向，就是矢量。贴切的象征是箭头。速度也许会由一个箭头来表示。简单点说，就是矢量，它的长度是根据选定的比例单位，用来代表速率，而它的方向就是运动的方向。如果四辆车以相同的速度从一个环形交通路口分散开出，它们的速度可由四个有着相同长度的矢量表示，就如图1-1所示。这里使用的比例则是1英寸代表每小时40英里。如法炮制，任何速度都可以用矢量来表示。反之，如果知道了比例，人们就能从类似的矢量图中确知速度。

如果两辆车在高速公路上相向而过，它们的记速器又都显示每小时40英里，我们就用两个不同的矢量来表示它们的速度，表示矢量的箭头会指向相反的方向。同样的，纽约的地铁显示“上行”“下行”的箭头也必须指向相反的方向（见图1-2）。如果所有在不同的站台或者街道以相同速率上行的车辆都有相同的速度，也能用单一的矢量来表示。矢量不会显示地铁经过了哪些站台，或是车辆正行驶在哪一条平行轨道之上。换言之，根据熟知的惯例，所有此类矢量如图1-3所示都是一样的；它们都处在同一或平行的线上，长度相等，最后，箭头还都指向同一个方向。（见图1-3）

而图1-4显示的矢量则都不相同，因为它们要么在长度，要么在方向，甚至在两者上都有不一致。

这四个矢量也能用不同的方法画出（见图1-5），它们可以从一个点出发。

由于起点并不重要，这些矢量可以表示从同一个环形交通路口开出的四辆车的速度，也可以是四辆行驶在城市不同位置车辆的速度，它们都有各自的速率和方向。

矢量表示法现在能用于描述前面所述的直线运动了。我们说到一辆推车，它沿着一条直线匀速行驶，然后受到了和运动方向一致的推力，从而增加了速率。从图1-6上看，这也许要由两个矢量表示，短一点的表示推动之前的速度，相同方向较长的那个则表示推动之后的速度。

用虚线表示的矢量含义很清晰，就是速度上的变化，我们都清楚，这是推力的作用。在另一个例子中，力和运动方向相反，速率减缓。

如图1-7，虚线矢量表示速度的变化，但是在这里，方向不一样。很明显，除了速度本身，速度的变化也是矢量。但是，速度的每一个变化都是由于外力的作用，因此，力也必须用矢量来表示。为了定义一个力，仅仅说明我们用了多大力气推动推车是不够的，我们还必须说在哪个方向推了它。力和速度或者速度的变化，必须由矢量而不是单独的数字表示。因此，外力也是矢量，也必须有方向，正如速度的变化。在上述两张图中，虚线的矢量显示了力的方向，正如显示了速度的方向。

怀疑论者也许会指出，他没看到任何引入矢量的好处。我们说明的这一切，其实是在把早已认识到的事实转化为一种不熟悉且复杂的语言而已。在这个阶段，就说他错了确实是很难的。因为，事实上，到目前为止他都是对的。但是，我们应该看到，正是这一陌生的语言带来了重要的发展，在那里矢量将十分关键。