运动之谜

只要我们研究的只是沿着直线的运动，那就离理解已发现的自然运动还远着呢。我们必须考虑沿着曲线的运动，下一步则是确定支配此类运动的法则。这可不是容易的事。在直线运动中，我们证明了速度、速度变化以及力是最有用的概念。但还不足以立刻看出如何将其应用在曲线运动中。认为旧概念不适用于描述一般运动，而必须创造新概念，这一说法确实是有可能的。那我们该沿着老路走还是探寻新路呢？

将概念进行推广，在科学中是很普遍的过程。推广的方法并不唯一，往往会衍生出多种方法。然而，有一个要求必须严格满足：一旦初始情形容纳不下新的变化，任何推广后的概念必须回到起初的概念。

我们可以用接下来的例子清楚地解释这一点。我们可以试着把速度、速度变化和力的老概念进行推广，以用于曲线运动。严格上讲，说到曲线时是包含直线的。直线是特殊又微妙的一种曲线。因此，假如把速度、速度变化和力引入曲线运动，那么它们就能自动用于说明曲线运动。但是这个结果必须不能与先前发现的结果相悖。如果曲线变成了直线，那么所有被推广了的概念必须转化成描述匀速直线运动的概念。但是，仅凭这一限制不足以说明推广方式是唯一的，它还蕴含很多的可能。科学史显示，最简单的推广方式有的时候能被成功证明，有的时候则不行。首先，我们必须有一个猜想。目前，猜想推广的方式比较简单。只要新概念论证得十分成功，就能帮助我们理解运动，无论是抛掷石头还是行星运动。

现在，在沿着曲线运动的一般情况中，速度、速度变化和力究竟意味着什么呢？我们先从矢量开始。一个非常小的球正沿着曲线从左到右移动。

这样小的物体通常称为质点。在图1-8中，曲线上的黑点表示某一时刻质点所在的位置。和这个时刻、这个位置对应的速度是什么？伽利略的发现再一次暗示了说明这个速度的方法。我们必须再一次运用想象力，设想出一个理想化的实验。质点在外力作用下沿着曲线从左到右移动。假设，在黑点运动到表示的这一时刻、这一位置时，所有力一下子停止作用了。然后，根据惯性定律，运动必须是匀速直线的。当然，在现实中，我们永远无法让一个物体彻底摆脱所有外力的影响。我们只能猜测：“如果……会发生什么？”然后从猜测中得出的结论以及结论和实验的契合度，来判断猜想是否合理。

图1-9的矢量表示的是在所有外力都消失的情况下，猜想得出的匀速直线运动方向。

这个方向也就是所谓的切线。通过显微镜观察运动中的质点，你可以看到曲线非常微小的局部显示出来的就是一个小区段。切线是它的延伸。因此，图示矢量表示的就是此刻的速度。这个速度矢量和切线重合。它的长度代表速度的数值大小，或者说标示出速率，对应的例子就是车的记速器。

对于这个拆解运动找到速度矢量的理想化实验，我们不能过于严肃地看待它。它只是帮助我们理解我们要说的速度矢量是什么，并确保我们可以在给定时刻和位置判断出速度矢量。

图1-10中，显示的是一个质点沿曲线运动在三个不同位置的速度矢量。

这里不仅显示了速度的方向还有它的大小，正如矢量长度所表示的，速度会在运动中有变化。

速度的新概念满足推广的要求了吗？也就是，假如曲线变成直线，它能转化为直线中的对应概念吗？显然可以。直线的切线就是直线本身。速度矢量和运动轨迹重合，就像是运动的推车或滚动的球。

下一步是在曲线运动的质点中引入速度变化。这也能通过多种方法实现，我们从中选择最简单、最方便的方法。图1-10显示的几个速度矢量代表了在轨道不同位置的运动。其中前两个矢量可以从同一个起点重新画，我们已经知道这对矢量来说是可行的（见图1-11）。

我们称虚线矢量为速度变化。它的起点是第一个矢量的终点，而它的终点又是第二个矢量的终点。速度矢量的变化概念，乍看上去，非常浅白、毫无意义。但是在矢量1和矢量2有相同方向的个案中，它更为清晰。当然，这意味着融入了直线运动。如果两个矢量具有相同的起点，虚线的矢量会再一次连接起它们的终点。下面的图1-12和图1-6一模一样，前述的概念也回到了新案例之中。也许可以说，我们必须在图示中区分这两条线，否则它们会融合，变得不可区分。

现在，我们要进行推广的最后一步，这是做了这么多猜想中最重要的一步——建立力和速度变化的关系。这样，我们才能找到线索，以理解运动的一般问题。

解释直线运动的线索非常简单：外力导致速度变化；力的矢量方向和速度变化的方向一致。那么，在曲线运动中，这一线索是什么？完全一样！唯一的区别是，速度变化的内涵比先前更广了。再看看图1-11和图1-12中的虚线矢量，就一目了然了。如果曲线上每一点的速度都是已知的，就能立刻推导出来任何一点上的力的方向。如果必须绘制间隔极短的两个时刻的速度矢量，那么它们的位置必定是极其靠近的。从第一个矢量的终点出发到第二个矢量的终点的矢量表示的就是作用力的方向。但至关重要的是，这两个速度矢量只能是在“极短”时间段内区分出来的。对“极其靠近”“极短”一类词的严格分析可一点都不简单，实际上，正是这项分析导致牛顿和莱布尼茨发明了微积分。

对伽利略线索推广的道路是冗长而又复杂的。我们无法在此说明这一推广得到了多么丰硕的成果。它的应用简单、有力地解释了先前许多看似无关且被误解的现象。

从浩如烟海的运动中，我们只能撷取最简单的例子，并运用刚刚得到的定律来解释它们。

从枪口射出的子弹、以一定角度抛出的石头、从软管喷出的水流，这一切都描述了同种类型的相似路径——抛物线。例如，想象一个连着测速器的石头，那它在任何时刻的速度矢量都可以画出来。结果很可能就是图1-13表现的那样。

作用在石头上的力的方向正是速度变化的方向，我们已经知道这是如何推导出来的。图1-14显示的结果则说明，力是垂直且向下的。这和从塔顶坠落的石头一模一样。路径完全不同，速度也不同，但是速度的变化有相同的方向，就是指向地心。

一颗系在绳子末端的石头，在水平面上旋转起来，它是按照圆周轨迹运动的。

图1-15显示，假如速率是一致的，那么这个运动的所有矢量长度一致。不过，速度是变化的，因为轨迹不是直线。只有在匀速直线运动中，才不会涉及力。然而，在这里存在力，但速度不是在大小上有变化，而是在方向上有变化。根据运动定律，一定有某种力导致了这种变化，在这个例子中，力存在于石头和拿着绳子的手之间。马上，就出现了另一个问题：这个力作用的方向是什么？再一次，矢量图能给出答案。时间很短时两个相邻时刻的速度矢量以及速度变化如图1-16所示。

可以看出，这个最终的速度变化的矢量是沿着绳子的方向，并指向圆心的，而且从始至终都和速度矢量垂直，或者说和切线垂直。换言之，手臂通过绳子向石头作用了力。

十分相似但更为重要的例子是月亮绕地球的公转。这也可以用匀速圆周运动来做类比。同样，力是指向地球的，正如前例中力指向的是手臂。在地球和月亮之间没有绳子相连，但我们能想象出在两个物体的中心之间有一条线，这条线上的力直指地心，正如作用在抛到空中或从塔顶掉落的石头上的力一样。

我们说的这一切运动，可以用一句简单的话概括——力和速度变化是方向一致的矢量。这是解决运动问题最初始的线索，但是它显然不足以充分解释可以观察到的所有运动现象。从亚里士多德的思考方式到伽利略思考方式的转变，形成了奠定科学基础中最重要的基石。一旦打开了这个裂缝，更进一步发展的路径就清晰了。我们感兴趣的是发展的第一阶段，即跟随着最初的线索，新的物理概念是如何从旧观念中艰难诞生的。我们所关心的是科学先驱的成就，这包含了寻找崭新且始料未及的发展之路。在一路的历险之中，科学思维创造出了千变万化的宇宙图景。最初和最基础的步骤往往具有革命性的地位。科学想象发现老旧的观点过于局限，从而用新观点取代了它们。任何一条已经开创的思维方式的持续发展更多是渐进式的，直到达到了新的转折点，在那时，必需要征服的是崭新的领域。然而，为了了解是什么样的理由和困难促使了概念的重大改变，我们需要知道的不只是最初的线索，还包括可以推导出的结论。

当代物理学最重要的特质之一就是：从最初线索推导出的结论不只是定性的，也是定量的。让我们再一次思考从塔上下落的石头。我们知道，随着石头下落，速度也会增加，但我们还应该知道更多。这个变化有多大？石头开始下落后，它在任意时刻上的位置和速度是什么？我们希望能够预测事件并通过实验证明观察是否与预测一致，并进一步验证最初的猜想。

为了得出定量结论，我们必须使用数学语言。绝大多数基础科学概念都十分简单，也许这样才能用易于理解的语言将规则传达给每一个人。要深入理解这些概念，需要熟稔高度精湛的研究技术。如果想检测结论是否与实验匹配，数学是必要的推理工具。仅考虑基本物理概念的话，我们也许能回避数学语言。但是我们必须时不时地提醒自己，先前我们所做的都没有得到证实，但是在未来的发展中，部分结果对于理解出现的重要线索是非常必要的。抛弃数学语言的代价就是缺失精确性，而且有的时候需要引用现成的结论，但无法显示这些结论是如何得出的。

一个非常重要的运动例子是地球绕太阳公转。已知这个轨迹是封闭的曲线，我们称之为椭圆。

做出速度变化的矢量图1-17表明作用在地球上的力是直指太阳的。但这毕竟只是微不足道的信息。我们想做到的是预测出地球的位置以及任意时刻其他行星的位置，我们还想预测出下一次日食发生的时间和时长，还有其他许多天文现象。做到这些事是有可能的，但不是仅凭我们的最初线索，因为这需要知道的不仅仅是力的方向，还有它的绝对值——大小。在这一点上做出卓越猜想的是牛顿。根据他的万有引力定律，两个物体之间的引力单纯取决于它们之间的距离。距离越大，引力越小。具体地说，如果距离增加到两倍，引力就会缩小为原来的1/4；如果距离扩大到三倍，引力就会缩小至原来的1/9。

据此可见，在万有引力中，我们成功地用简单的方式表述了引力的大小取决于运动物体间的距离。推而广之，可以用在其他受力不同的运动类型中——比如说电力、磁力等。我们试图用简单的表述来说明这个力，这样的表述只有在从其推导出的猜想被实验证明之后才是合理的。

但是只有引力的知识不足以描述行星的运动。我们看过了代表力和速度变化的矢量，在任何极短的时间间隔内，它们都有一样的方向，但是我们必须跟随牛顿再进一步。假设它们的长度之间存在某种简单的关联性，也就是说，根据牛顿的说法，在其他给定条件都相同的情况下，同一运动物体在相同的时间间隔内，速度变化和力是成比例的。

从而，在行星运动的定量结论上，只需要补充两个猜想。其一是共性，说明的是力和速度变化之间的联系；其二是特性，说明的是特定的力与物体距离之间的确切相关性。第一个是牛顿的一般运动定律，第二个是他的万有引力定律。它们共同决定了行星的运动。下述看起来有些笨拙的推理可以解释清楚这一点：假设在特定时刻，一个行星的位置和速度都是确定的，力也是已知的。那么，根据牛顿的定律，我们能知道行星在短暂时间间隔内的速度变化。知道了初始速度和它的变化，我们就能找出在时间段结束时，这个行星的速度和位置。重复这个过程，运动的整个轨迹就能被推导出来，而且无须求诸更多的观察数据。从原理上讲，这就是经典力学推测运动物体轨迹的方法，但这里用的方法是很难操作的。实际中，这样一步步的过程会极端烦琐且不精确。幸运的是，它也毫无必要——数学轻而易举就能实现，能以更少的篇幅精确描述运动，甚至比写完这句话用的墨水更少。用这种方法得出的结论可以通过实验证实或证伪。

我们认为作用在从空中往下坠落的石头的外力，与月亮在自己轨道上公转的力是一样的，都称作是地球对物质实体的引力。牛顿意识到，石头下落的运动、月亮和行星的运动都只是宇宙引力的具体显现，这个力作用在任何两个物体之间。也许能借助数学的帮助在简单的例子中描述和预测这个运动。在陌生且极为复杂的例子中，涉及多个运动物体，数学解释不会这样简单，但是基本原理是一致的。

我们确定了推论，循着最开始的线索，通过抛掷石头的运动以及月亮、地球和行星的运动一步步证实了它。

实际上，我们的整个猜想体系都是能通过实验来证实或证伪的。这些猜想中，没有一个可以独立于其他猜想。在行星绕太阳公转的例子中，我们发现，经典力学系统得到了非常伟大的运用。当然，我们也能基于不同的猜想想象出其他系统，也许同样行得通。

物理概念是人类心智的自由创造，或者也不完全是，尽管看起来它们似乎仅仅取决于外部世界。在人类理解客观世界的努力中，某种程度上我们就像是试着理解手表内部机械运作的人。他看到了表盘，看到了移动的指针，甚至听到了嘀嗒嘀嗒的声音，但是他不知道如何拆解这个构造。如果他足够聪明，也许就能构想出机械构造的图示，用来解释他观察到的所有现象，但他很可能永远不能确定自己的构想是不是唯一可以解释其现象的图示。他永远无法将自己的构想和真实的机械构造比较，甚至无法想象这种比较的可能性或含义。但他坚信，随着知识的增长，他对现实的解释图示会越来越简单，能解释的感官印象的范围也将越来越大。他也许还会相信现存的理念中还存在知识的局限，而只有人类的智慧能突破它。他也许会将理念的局限称为客观真理。