2.2 耦合颤振能量方程的建立
2.2.1 广义的颤振运动控制方程
以8个气动导数来描述作用在结构上的气动力时，二维两自由度节段模型的颤振基本运动控制方程可表示为
在上述两个方程式中，结构—气流系统仅有一个振动频率，在求解颤振临界状态下系统的特征值很方便，但是在很多情况下系统的竖弯振动频率和扭转振动频率没有耦合成一个频率，为了进行颤振全过程的能量分析，将运动方程改写成系统竖向运动按照竖向频率振动，系统扭转运动按照扭转频率振动的更一般的表达形式。具体形式为
两组方程的不同之处在于采用的系统振动频率不同。在第一组方程中，系统的竖向振动和扭转振动以同一频率振动，而第二组方程中系统的竖向振动和扭转以不同频率振动，第一组方程比较适合研究颤振的临界状况，而第二组方程能够研究颤振的全过程。本书的研究中以第二组方程为运动控制方程。
2.2.2 考虑阻尼影响的竖向和扭转简谐振动方程形式
通常颤振分析时主要注重研究系统的主要特征值，即系统的频率和阻尼比的变化，较少关注系统的简谐振动方程形式。但是简谐振动方程对求解系统能量来说具有很重要的地位，因此本书首先研究如何建立系统任意风速下的简谐振动方程。
首先基于这一事实，扭转振动中含有竖向振动的频率成分，竖向振动中也含有扭转振动的频率成分，因此假设扭转振动和竖向振动均有两种振动频率成分的参与，故扭转和竖向振动可表示为
式中：α0（t）为振动频率为ωα的扭转运动；α1（t）为竖向运动激发的振动频率为ωh的扭转运动； h0（t）为振动频率为ωh的竖向运动；h1（t）为扭转运动激发的振动频率为ωα的竖向运动。
考虑阻尼对振动方程的影响，将运动方程设为
下面具体研究如何确定h1（t）和α1（t）。采用分步分析的思想将α0（t）和h0（t）作为已知项，分别代入竖向运动和扭转运动方程，求出α0（t）激发出的竖向运动h1（t）及h0（t）激发的扭转运动α1（t）。
1.确定竖向运动方程
竖向运动方程为
其中，令
sinωαt即可求出α0（t）激发出的竖向运动h1（t）。下面分别计算
激发的竖向运动h11（t）和h12（t）。
激发的竖向运动h11（t）为
采用脉冲响应函数求h11（t），有
忽略瞬态反应，化简整理得
同理，可以求出
激发的竖向运动h（t）为
则竖向运动h（t）为
从这个表达式中可以清楚地看到竖向运动的构成：振动频率为ωh的竖向运动，扭转运动激发的振动频率为ωα的竖向运动。
2.确定扭转运动方程
扭转运动方程如下：
其中：令
），即可求出h0（t）激发出的扭转运动α1（t）。下面分别计算
激发的扭转运动α11（t）和α12（t）。
扭转运动α（t）为
从这个表达式中可以清楚地看到扭转运动的构成：振动频率为ωα的扭转运动，竖向运动激发的振动频率为ωh的竖向运动。以上公式中的参数为
以上建立了结构竖向和扭转简谐振动的最一般方程形式，但含有两个未知量，即幅值比h0/α0和相位差θ，后续将通过能量方程求解任意风速下这两个基本量。
2.2.3 耦合颤振能量方程
在上一节中详细讨论了竖向和扭转简谐振动方程形式的建立，有了振动方程的表达式就可以很方便地写出颤振运动能量控制方程，具体表达式为
通过上述扭转系统和竖向系统的能量表达式就可以分析耦合颤振过程中的能量是如何输入到振动系统中的，影响能量输入的主要因素以及能量在两个自由度之间是如何传递和分配情况。
2.2.4 应用能量方程确定弯扭的幅值比和相位差
在求解二维耦合颤振的经典方法中多采用逆解法，但都是假设竖向振动和扭转运动做同频率的简谐振动，然后通过比较sinωt和cosωt的系数来确定颤振临界处的振幅比和相位差，而在非颤振临界处的幅值比和相位差无法给出。经典解法不适合本书，主要基于以下两点：
（1）本书要确定颤振过程的幅值比和相位差，从而确定整个颤振过程的能量变化规律，不仅仅是颤振临界状态下的幅值比和相位差。
（2）本书假设系统竖向振动和扭转振动不是按照同一频率振动，系统竖向振动按照竖向振动频率，系统扭转振动按照扭转运动频率，也就是说，方程式左端是含sinωht的表达式，而方程的右端是含sinωαt的表达式，因此无法使用比较系数法来确定某一风速下的幅值比和相位差。
基于以上原因，通过比较系数来确定幅值比和相位差失效，但是根据上述的能量可以求出任意风速下的幅值比和相位差。具体过程如下，为方便书写记为
1.竖向运动的能量方程
对竖向运动取积分上限t1=2π/ωh，则可以求出方程左端的惯性力、弹性力、机械阻尼力在一周期内做功值具体为
能量方程右端
一周内的能量如下：
由方程左右两端相等可以建立第一个等式。
2.扭转运动的能量方程
对于对扭转运动取积分上限t2=2π/ωα，代入扭转系统颤振运动能量方程中，可以建立等式，联立式（2.25）和式（2.26），可以求出系统的弯扭幅值比和相位差。
在已知系统的颤振频率和阻尼比以后联立这两个等式就可以求出幅值比h0/α0和相位差θ。需要说明的是，这里求出的是任意折减风速下一周内的均值。