2.4 网络分析仪测量介电常数的方法

物理学上，测量静电场或低频电场下材料的介电常数常用平板电容法，具体原理如图2.8所示，其计算公式为

式中 C——平板电容器电容；

A——平行金属板面积；

t——介质厚度。

图2.8 平板电容测介电常数示意图

然而在微波频段（300MHz～3000GHz），介电常数就不能再采用这种方法进行测量和计算了，原因主要有两方面：①介电常数变成了复数，实部和虚部两个参量很难用一个简单的式子来描述；②高频频段内会出现高次模式的波，反射系数等参量会受到影响，使得测量复杂化。

微波频段内测量介电常数的仪器有多种，这里仅对基于矢量网络分析仪的几种测量方法作简要介绍。网络分析仪有不同测量方法：同轴探头法（Coaxial Probe）、波导法（Wave guide）、自由空间法（Free-Space）、平行板法（Parallel Plate）、谐振腔法（Resonant Cavity）等。其中平行板法主要在低频（40Hz～1GHz）范围内测量介电常数，与本研究的混凝土介电特性的频率范围不太一致；而谐振腔法是依据不同腔体进行某一频率的测量，也不适合作为本书测量手段，故对这两种方法不再详细介绍。下面主要分析对比一下同轴探头法（Coaxial Probe）、波导法（Waveguide）、自由空间法（Free-Space），从而确定本书介电常数的测试方法。

2.4.1 同轴探头法

同轴探头测试技术典型的测量系统如图2.9所示，该测量技术是基于传输线理论、特性阻抗和传输常数进行工作的，具体的测量原理如图2.10所示：矢量网络分析仪产生的电磁波经由以同轴线、探头和被测介质组成的传输线进行传送，假定被测介质的尺寸和损耗正切足够大使得电磁波经过介质后传输信号衰减完，通过矢量网络分析仪测量被测介质表面的反射系数，根据传输线方程中反射系数与阻抗和导纳的关系式、导纳与介电常数的关系，求出介电常数，并作为最后的输出保存记录下来。

图2.9 同轴探头测量系统^［75］

图2.10 同轴探头测量系统原理示意图^［75］

矢量网络分析仪同轴探头法测得介质接触面的反射系数R的表达式为

式中 Z_L、Z₀——分别为被测介质的阻抗和同轴传输线的特性阻抗；

Y ₀、Y_L——分别为同轴传输线的特征导纳和负载导纳，Y₀=1/Z₀，Y_L=1/Z_L。

当探头置于无穷大均匀介质上时，若被测介质是非磁性材料（μ=μ₀），此时被测介质的总的探针输入导纳Y_L（ω，ε_r）可以表示为

其中：ω表示角频率，通过已知导纳Y、测量R的幅值和相位便可得Y_L（ω，ε_r）据此反演介电常数；系数C_i、C₀、B、A可通过仪器测试前的校正（短路、常温纯水和空气）和测量导纳已知的介质（如纯水）得到。

Agilent公司生产的矢量网络分析仪的探头主要配备有如下三种类型：

1.高温探头

高温探头结构如图2.11所示，可以测量具有腐蚀性的化学物质，该探头的设计可用来测试具有平面接触面的固体。

图2.11 高温探头结构图^［75］（单位：mm）

2.轻薄型探头

该探头适合在狭小的空间对尺寸较小的液体和软的半固体材料进行介电常数的测量，频率范围为0.5～50GHz。

3.新性能探头

这种类型探头具有耐高温和测试频率高双重特点：频率范围为0.5～50GHz；耐受的温度范围为：-40～200℃。

综上所述，同轴探头具有以下一些特点：①测试频率范围较宽；②被测材料试件制作加工容易，只需要测量面平整光滑；③适用于液体、半固体和具有平面的固体的介电常数的测量；④适合高温、低温环境下测量；⑤适合无损测量、现场测量。但也有一定的不足之处：①该技术假设被测试样为半无限大介质，因此不适宜测量薄试样的介电常数；②该方法对同轴探头的要求很高，测量时探头与试样接触要十分紧密，对固体而言，要有一个非常平整的测试平面，以确保测量有较高的精确度。

测量前，为提高其测试精度和为消除电磁波于不连续处所产生的反射讯号，获取有关参数，须先进行仪器系统校正，使用空气、短路与纯水三种已知介质作为标准进行三次校正。

首先将探头裸露在空气中进行校正；待空气校正完成后，将探头接上短路装置进行校正，短路校正如图2.12（a）所示；最后将探头置于25℃的纯水中进行校正，校正过程如图2.12（b）所示，并注意探头与水接触面不能有气泡或空隙存在，以免影响校正效果。

仪器校正完成后，便可进行介电常数测量了。测量过程中必须注意待测物与探头接触处，接触面需平整无孔洞、气隙或气泡，以避免因为探头与待测物之间无法完全贴合而导致误差。

图2.12 短路、纯水校正过程照片^［29］

（a）短路校正；（b） 纯水校正

除此之外，为提高测量精度，试验时可对同一试件进行多个不同测点的量测，并将最高与最低值去除后取平均值，作为试件的介电常数值。

2.4.2 波导法

波导法，又称传输反射法，依据波导传输/反射法工作，其原理框图如图2.13所示。该方法是20世纪70年代Niclson、Ross与Weir等人提出的，所以又简称NRW传输/反射法（T/R）。具体测量原理为：将制作好的均匀介质放入矩形波导腔内，通过测散射参数即S参数计算被测介质的相对复介电常数。

图2.13 波导测量系统原理框图^［76］

典型的波导测量系统实物图如图2.14所示，从图上可看出，系统主要包括两大部分：①网络分析仪的软件系统和硬件系统。硬件系统有安捷伦矢量网络分析仪、同轴线和标准校准件；软件系统包括windows操作系统、散射参数测量软件等。②波导硬件系统和软件处理模块。硬件主要有同轴波导转换器，非标准校准件（1/4波长波导，短路器），精密波导段等；软件包括校准程序、由散射参数计算介电常数的程序等。

图2.14 介电常数的波导测量系统^［76］

波导法测量介电常数时，所用波型为TE₁₀波，将被测介质放入波导中，需完全充满于测量波导，由矢量网络分析仪测量S参数，可运用NRW传输/反射（T/R）法计算出介质的复介电常数，具体计算方法和公式如下：

式中 S₁₁、S₂₁、S₂₂、S₁₂——四个S参数；

d——样品长度；

T_d——传输系数；

Z_c、γ_c，Z₀、γ₀——分别为介质段、空气段的特征阻抗和传播常数；

λ_c——波导的截止波长，仅与传输波型和波导尺寸有关，对TE₁₀波，m=1，n=1；

c——光速；

λ ₀——空气中电磁波的波长；

μ ₀——空气的磁导率；

ε_r、μ_r——介质相对复介电常数、相对磁导率；

Γ_c——电磁波在介质段的反射系数。

这里，所测得的S参数是同轴线校准端面的参数，一般地，将其等同于介质两端的S参数，代入到散射方程中可得到以下一些式子：

其中，n=0，1，2，…，T_d和Γ_c均小于1。

若被测介质的反射系数和传播系数均已知，可以用下列两公式中的其中之一计算出介质复介电常数ε_r：

与其他方法相比，波导法存在以下不足之处：

（1）使用同轴波导转换器，通过测量S参数反算介质介电常数，应该采用介质两端的散射参数，然而，传统的做法是将网络分析仪测得的同轴波导口的散射参数等同于介质两端的散射参数，会带来误差，因为忽略了传输线的非匹配误差。

（2）测量时，待测介质的试件需完全充满于波导腔内。这一点实际操作时很难做到，因为这样要求就意味着：①试件长度需与测量波导腔长度完全一致，不能有差异，否则会产生较大的测量误差；另外，试验表明：当试件长度与波导腔尺寸不一时，试件在波导腔内放置的位置不同测量结果也不同，对测量精度有较大影响。因此，需根据波导腔的尺寸来制作试件并严格控制其精度，如此操作，试件尺寸也就受到极大限制，且往往与相关试验规范要求的尺寸不一致，使得后期的其他试验难操作或试验结果与同行业内结果无法作比较分析。②试件难以充满于波导腔内，试件与波导腔四周之间以及沿试件长度方向就有可能存在极小的空气缝隙，尽管缝隙的尺寸微小，但经过NRW TR反算后，介质的介电常数仍有较大差异，影响最终的测量精度。

（3）波导法测量介质介电常数时，须将待测试件放置于波导腔内，若直接放入，像水泥混凝土和沥青混合料这样强硬粗糙的试件，势必会对波导造成一定程度的损坏和污染，影响以后的使用。

（4）波导法存在多值、厚度谐振现象。由式（2.61）～式（2.68）知：在某些频率点上，当试件长度为这些频点半倍波导波长的整数倍时，S₁₁→0，K有极大不确定性，使得测量结果有一个峰值点，该现象为厚度谐振现象；此外，因n的多值性，γ_c也存在多个值，测量结果也存在多值问题，如何判断和取舍成了一大难题。

2.4.3 自由空间波法

自由空间波法（Free Space）和同轴探头法和波导法一样，都属于传输线法，均是通过网络分析仪测量电磁波的传输参数以计算待测介质的复介电常数，系统组成如图2.15所示。

图2.15 自由空间波法测量系统^［71］

用自由空间波法测量时，需要仔细选择天线参数和传输线性能等因素，以保证满足天线平行于待测试样、试样处于非无功区域等测试要求，该方法可进行一定场合介电常数的非损伤宽频带扫频（5～325GHz）测量，见图2.16。

图2.16 自由空间波法测量系统^［71］

图2.17是安捷伦公司提供的自由空间波法测量介质介电常数的实物图，自由空间法分为反射式自由空间波法和透射式自由空间波法。顾名思义，反射式是通过测量反射波的相关参数来计算复介电常数，透射法则是通过透射波相关参数的测试来计算复介电常数。应用反射式自由空间波法测量介质介电常数时，为了只接受目标体表面的反射波，常常在被测试样的周围铺上大面积的吸波材料，以将无用的散射波完全吸收。用户根据需要选择恰当的方法来完成预期的测试任务。

图2.17 自由空间波法测量介质介电常数实物图^［71］

自由空间波法测量介电常数时，被测介质横向尺寸要足够大，厚度为d的平板材料，如图2.18所示。电磁波垂直入射被测平板中，传播方向为z，入射波在空气与介质交界面将产生反射和透射现象，形成反射波和透射波。

图2.18 电磁波穿过介质平板示意图

若将介质视作两端口网络，测量反射波、透射波，依据式（2.71）和式（2.72）计算散射参数S₁₁和S₂₁：

式中 Γ、T——分别为界面处的反射系数和传输系数。

式中 η_r——介质的相对特性阻抗；

γ——传播常数。

η_r、γ与复介电常数之间存在以下关系：

由式（2.73）～式（2.74）可求得特性阻抗和传播常数为

试样厚度d小于一个波长时，n=0；d在一个波长和两个波长之间时，n=1，以此类推。据η_r和γ物理意义，上两式中正负号选取应使Re（η_r）>0，Im（γ）>0，这样可得到计算复介电常数的公式：

同时，联立式（2.77）和式（2.78），可得到计算ε_r的另一个表达式：

且上述三个计算介电常数公式存在以下关系：

理论上，上述三个公式计算出的介电常数应该相同，但由于测量的误差，会有些差异，可通过误差分析进行相互佐证。

当试样厚度d为半波长的整数倍时，测量得到S₁₁将趋近于0，式（2.79）计算的结果会不稳定，因此据式（2.79）计算的复介电常数存在稳定性问题。但因该式中不含试样厚度d和n值等参数，所以不存在相位模糊性问题。然而，当n值未知时，式（2.80）会出现相位模糊性问题，但不存在稳定性问题。为有效解决不稳定性和相位模糊性问题，两式综合应用较好。此外，试验研究表明^［77］：综合应用上述三个式子，可以有效解决诸多问题，以使该测试技术在实际测量中具有更广泛的应用价值。与同轴探头和波导法相比，自由空间法可开放式进行大面积试样的宏观介电常数测量，测量时不接触式样、无破坏；不仅可测试样的宏观复介电常数，而且还可以直接测得微波遥感散射机理研究中其他散射系数。缺点是测量精度相对较低。

综上所述，上述三种常见的介电常数测试方法各有千秋，究竟何种方法较为适宜，还得根据测量频率和测试的精度等多方面的要求而定。对沥青混合料和水泥混凝土两种复合材料，波导法因对试件尺寸制作要求高，且测量时须保证试件几何尺寸和波导腔的几何尺寸高度一致，否则会引起较大测量误差，因此波导法不太适合。自由空间波法较适宜测量大体积板状试样或易摊铺的粉末材料的介电常数，也不太适合。而同轴探头法对试件尺寸要求不太苛刻，测量频率也与研究内容较匹配，可通过多次测量取平均值的方法提高测量精度，因此本试验数据是用Agilent E5071C网络分析仪、终端开路同轴探头，并搭配相关软件进行测量的。