二 在险增长的G-VaR度量

金融学中常用Value-at-Risk（VaR）度量投资组合的最大损失风险，一般为负值，Wang和Yao[18]将其移植到宏观经济研究中来，构建在险增长GaR指标并用其刻画经济衰退。主要原理和思路为，假定国民生产总值（GDP）序列g的概率密度函数为 f（g），对给定的置信水平 α，求g∗（＜ 0），使得：

其中，为客观概率测度，这意味着经济增长低于g∗ 的概率为α，即在给定置信水平1-α下经济出现负增长的最大幅度。在险增长GaR表示预期增幅与最大降幅的差，即：

衡量最大降幅相较于预期增幅之间的差距，意味着如果我们想要实现预期增长幅度，需要有 的潜在增长速度，以防范经济下行风险。举例而言，如果取置信水平α = 5%，通过式（3-1）得到的计算结果为：

其经济含义可从两个维度加以解释：一是在95%的置信水平下，经济增长的最大降幅不高于6%，换言之，经济增长下降幅度超过6%的可能性不超过5%。二是如果设定未来的经济增长目标为5%，为防范经济下滑6%的潜在风险，我们需要有能力保证11%的潜在增长速度，即潜在增长率要达到11%才行。

下面借鉴 Peng 等[19]以及 Peng 和 Yang[20]的相关结果给出在险增长GaR的G-VaR刻画，以刻画经济增长波动性不确定下的经济增长风险，旨在提高以往文献中用VaR刻画经济增长风险的精度。通常，在次线性期望 框架下讨论问题（相关理论结果见附录一），因为次线性期望可以表示一族概率测度的上确界，即对于给定的随机变量X，有：

从风险度量的角度而言， 表示所有可能情况中的最大的那一个，即找到经济增长下滑幅度中最大的下滑幅度，称为“底线思维”。由非线性期望框架下的中心极限定理知，不失一般性，我们假定经济增长服从G-正态分布，），其中和分别为下均值和上均值，和分别为下标准差和上标准差，即均值和方差均不确定（见附录二）。也就是说，G-正态分布的均值和方差均处于一个区间内，而不是唯一确定的常数，而且也不需要假定均值和方差服从如前所述的随机波动模型等具体随机过程，这是非线性期望理论在刻画均值和方差不确定性尤其是方差不确定性方面的优势所在。

进一步，为简单起见，假定经济增长幅度的均值μ给定，即不存在均值不确定性，此时经济增长服从的 G-正态分布为 。由非线性期望理论的常数平移不变性，我们可假定经济增长服从的G-正态分布为）。类似于GaR的VaR刻画，可定义经济增长g的G-VaR（由G-正态分布构建的VaR）为：

其中， 为次线性期望，为实数集。进一步的计算可得：

其中：

Φ为标准正态分布的分布函数。特别地，如果在给定的置信水平下有G-VaRα（g）＞ 0，可以证明：

其中，，称二者分别为调整波动性和调整风险水平。由此，可以给出与式（3-1）对应的非线性期望框架版本为：

其中， 为非线性期望，，α为给定的置信水平，即在险增长GaR的G-VaR度量版本。具体的经济含义同期望框架下的版本，不再赘述。这里需要增加的一点说明是，可认为是对标准正态分布的尺度变换，而相当于把风险水平平移到 ，且其值小于α，因此，可认为波动性参数的比值是对经典正态分布的修正[21]，进而刻画经济增长风险的厚尾特征，从理论上解释非线性期望框架下的G-VaR风险度量指标提高了期望框架下VaR风险度量指标的精度。

综上，我们得到命题 1，即非线性期望框架下的经济增长风险度量。

命题1假定经济增长g服从G-正态分布，经济增长风险的G-VaR度量为：

其中，为实数集， 为次线性期望，α为置信水平。如果在给定的置信水平α下有G-VaRα（g）＞ 0，则：

其中，，。

下面，我们从参数不确定性的视角对风险度量G-VaR稍作稳健性分析。从风险度量的角度而言，式（3-2）给出的是悲观预期，即“底线思维”，如果将式（3-2）中的上确界sup换成下确界inf，则给出的是乐观预期，即“顶部思维”，二者构成“在险增长走廊”的上界和下界。从参数不确定性而言，式（3-3）由上标准差和下标准差共同决定，所以可从上标准差和下标准差的不确定性来度量模型不确定性下的风险变化情况。当时，式（3-3）退化为：

进一步，当时，其中σ为样本总体方差，式（3-3）退化为：

即经典正态分布下的 VaR（g），显见 ≤ VaR（g）≤ GVaRα（g），它们分别对应于经济增长风险的乐观、中性和悲观预期（或者说顶部、中部和底线思维）。进一步，可称时序的[，G-VaRα（g）]为“在险增长走廊”，刻画经济增长风险的波动范围，含义为经济增长风险几乎处处（概率意义上）落在“在险增长走廊”内部，可以说“在险增长走廊”刻画经济增长的风险边界。最后，从模型误差导致的风险度量误差角度而言，还可将G-VaRα（g）与VaR（g）的差理解为“风险缺口”或“救市缺口”。

由此，我们得到非线性期望框架下经济增长风险度量的比较静态分析，即模型或参数不确定性视角的在险增长走廊刻画（命题2）。

命题2如果，G-VaRα（g）退化为：

如果，其中σ为样本总体方差，G-VaRα（g）退化为：

即传统概率框架下正态分布的VaR（g）。由此和命题1 可得到内含VaR（g）的在险增长走廊为[，G-VaRα（g）]。

实践中，为给出G-VaRα（g）的具体计算，我们还应对其中的相关参数进行估计。借助非线性期望框架下的大数定律和中心极限定理，可利用φ-max-min计算思路给出参数的无偏估计[22]。设xi（i = 1，2，…，m×n）为独立同分布随机变量的一个样本，当均值为μ确定时，可以获得关于方差下限 和方差上限 的最优渐近无偏估计：

其中：

前述的参数估计方法是将长度为m×n的样本数据分为n组长度为m的数据，用这n组数据的下方差统计量和上方差统计量作为方差下限和方差上限的无偏估计。

再者，如果预测下一阶段的经济增长风险，在假定 μ给定的基础上，还需要用非线性框架下的回归分析理论预测波动下限和波动上限的下一阶段取值。给定经济增长序列，如果下一阶段的经济增长gt+1 与往期的经济增长 {g1，g2，…，gt}独立，Peng等[23]给出和μt 的p-阶自回归模型，当p = 1时：

其中，、和分别为标准差上限、标准差下限和均值序列。

为给出非线性期望框架下的G-VaR方法度量在险增长GaR的理论推导和实证分析，需要完成如下四步工作：第一步，假定经济增长服从G-正态分布；第二步，在非线性期望框架下给出在险增长 GaR 的 G-VaR度量理论推导；第三步，基于原始数据及处理后的原始数据，对G-正态分布的参数或其他相关参数进行估计；第四步，利用次线性期望框架下的回归分析理论给出下一阶段的参数预测，并进行在险增长GaR的G-VaR预测。以上我们完成了前面两步，下面进行实证分析，即第三步和第四步。