3.1　坝基岩体力学模型概述

由于地质构造等原因，混凝土坝坝基是非均匀和非连续性介质，坝基岩体按照其地质构造成因可以分为以下几种类型：

（1）岩块。指相对比较完整的岩体。

（2）有厚度的软弱夹层。指有一定厚度的、夹层成分的物理力学强度较低的软弱结构，一般具有一定的抗剪强度，但抗拉强度较低甚至没有抗拉能力。

（3）无厚度的岩石节理裂隙。一般指岩体的硬性结构面，这些节理具有一定的延伸长度，但破裂面没有充填物，节理面具有类似于抗剪断试验剪断后的剪摩强度。

（4）断层。一般延伸范围较大，可以穿越很多种岩组，断层错动面上可以有充填物或者没有充填物。

坝基的岩体力学模型包括屈服准则、本构模型和单元形式等。

3.1.1　Mohr-Coulomb屈服准则

对于一般受力下岩土材料的破裂准则可以表述如下：在介质微元的任何截面上，其剪应力τn的大小都不能超过某一临界值。当｜τn｜达到该临界值时，岩土材料就要产生剪切滑移。在最简单情况下，上述的临界值和破裂面上的正应力σn之间呈线性关系，即有

这就是所谓的库伦剪切破裂准则，上式中c为粘聚力，φ为内摩擦角，一般情况下，φ值将随（-σn）的增加而减小，但在岩土材料所受静水压力不太大的情况下还是可以假定它为常数。试验表明，库伦剪切破裂准则能较好地模拟微裂纹地发生，故通常用它来作为岩土介质的屈服条件，在Mohr圆上，式（3.1-1）可以由一对射线表示。岩土材料应力状态的Mohr圆应处于由这两条射线所构成的楔形区域内。

当发生剪切滑移时，Mohr圆与射线相切。切点的坐标（σn，τn）值对应于剪切滑移面上的正应力和剪应力。若规定主应力σ1≥σ2≥σ3，则在主应力空间剪应力τn和正应力σn可以如下式表示：

此时式（3.1-1）也可以由主应力或应力不变量如式（3.1-3）和式（3.1-4）表示：

式中　θσ——Lode角，，由于σ1≥σ2≥σ3，所以-30°≤θσ≤30°；

I1——应力张量第一不变量，I1＝σ1＋σ2＋σ3；

J2——应力偏量第二不变量，σ3）2］；

Sij——偏应力向量。

Mohr-Coulomb准则在π平面和应力空间中的形状如图3.1-2（a）和图3.1-2（b）所示：

从图3.1-2可以看出，在π平面上，Mohr-Coulomb屈服准则的形状是不等边的六角形。这是因为岩体压缩状态与伸长状态下Lode角不同而造成π平面屈服曲线成不规则六角形。此外，在应力空间它还存在一个奇异的顶点。

3.1.2　广义Mises屈服准则

广义Mises条件是在Mises条件的基础上，考虑平均应力p或I1，将Mises条件推广成为如下形式

式（3.1-5）是1952年由德鲁克-普拉格提出的，在平面应变状态下

也称为德鲁克-普拉格条件，c、φ为岩土的粘聚力和内摩擦角。当φ＝0时，即为Mises准则。后来陆续导出多个α、k值，统称为广义Mises条件。

广义Mises条件在π平面上的屈服曲线仍是一个圆，αI1只影响π平面上圆的大小，不影响π平面上的图形，所以广义Mises条件的屈服曲面为一个圆锥（图3.1-3）。

3.1.3　坝基软弱结构面的各向异性屈服准则

坝基的破坏通常是发生在弱面上，坝基软弱结构面在发生破坏时，微破裂在软弱结构面内占有优势，以致最后的宏观破裂将沿层面发生，这类介质在强度上是强烈各向异性的，破坏的形式也往往是沿层面的剪破坏和垂直平面的张拉破坏。

当弱面走向与所研究平面的法线平行时，这类弱面体问题称为平面弱面体情况。按照Mohr-Coulomb破坏条件，弱面体的破坏可写成如下形式：

式中，本节正应力以压为正、以拉为负，σ、τ为弱面法向应力和剪应力，、φj、cj分别为弱面的抗拉强度、内摩擦角和粘聚力。

设弱面与最小主应力方向σ3的夹角为β，则由Mohr圆得：

将平均应力σm，最大剪应力τm代入上式得：

将式（3.1-9）代入式（3.1-9）得：

以式（3.1-9）代入式（3.1-11）：

即为弱面的破坏准则。

从上述方程可知，当弱面进入塑性状态时，弱面上的应力及弱面强度均是弱面方向的函数，即σ1＝f（β）。

3.1.4　节理力学模型

对于岩体内的节理，因为是无厚度的，一般采用无厚度的Goodman单元模型（Goodman，1968），Goodman单元在法向取一个较大的弹性刚度以反映接触面法向的变形情况，但在使用中存在受压时会使两侧的单元有可能相互嵌入，不得不靠调整法向劲度的取值来解决，而法向劲度的取值有很大的任意性，使法向应力出现波动。本文采用基于扩展Lagrange乘子法的接触单元模拟无厚度节理。扩展Lagrange乘子法是为了克服经典罚函数法与Lagrange乘子法的不足而发展起来的一种数学规划方法，最早是由Hestenes与Powell（1969）提出来。Rockefeller等人（1974）将其推广到不等式约束优化问题，后来Simo和Laursen（1991）应用该法求解摩擦接触问题。扩展Lagrange乘子法应用初始罚值，通过扩展Lagrange乘子迭代，最终求得满足精度要求的接触力，在整个过程中不增加总体方程的未知数个数，而且通过迭代求解大大降低了对罚值选取的要求，同时数值实施较方便，对界面的约束条件及其本构关系考虑得比较充分。因此在解决接触摩擦问题方面，扩展Lagrange乘子法相对于传统的Goodman单元有较大的优势。

在基于扩展Lagrange乘子法求解接触摩擦问题时，对三种接触状态即分离、粘合、滑动分别按以下准则进行接触状态的判断：

（1）分离状态：当接触面法向应力大于零时，接触面张开。

（2）粘合状态：当法向应力σn小于零（接触面间的应力为压应力）时，且接触面切向剪应力小于摩尔库仑准则所规定的允许剪应力，接触面处于粘合状态（图3.1-4），接触面的切向剪应力公式为：

式中　δu——接触面的相对位移；

ks——剪切模量；

f——库仑摩擦系数。

（3）滑移状态：当法向应力为压应力时，且根据库仑摩擦公式计算的接触面切向剪应力大于摩尔库仑准则所规定的允许剪应力，接触面处于滑移状态：

接触面张开时所不能承担的应力和接触面发生滑移时超过抗剪强度的那部分将通过扩展Lagrange乘子经过增量迭代转移并重新分配给周围单元。

3.1.5　坝基岩体的本构模型

大量室内外试验结果表明，坝基完整岩体弹性模量较高、刚度较大，主要表现为脆性破坏特性，破坏过程有明显的峰值强度，而破坏后呈现出应变软化的特性，峰值强度降低至残余强度，见图3.1-5。为反映坝基材料的这一变形特性，本书考虑到材料应力应变关系曲线中应变软化阶段不易准确获得，分别采用理想软化和线性软化两种软化本构模型模拟的坝基岩体的应力变形特性，见图3.1-6。

而对于坝基岩体中的软弱夹层、节理、断层等，却不像脆性岩体那样呈现明显的峰值强度，而是表现出明显的塑性变形特征，但破坏后仍然呈现出一定程度的应变软化特性。