3.2　坝基稳定分析的广义Mises屈服准则

在坝基和岩土工程的应用领域中，产生了各式各样的屈服准则，这些屈服准则从宏观现象论出发大致有两类：一类为单一的开口屈服面（或称为锥体屈服面）；另一类为闭合屈服面（或称帽子屈服面）。而其中最简单、也最受到广泛认可的是Mohr-Coulomb准则。

Mohr-Coulomb准则的屈服面存在着奇异点，在数值计算中应用Mohr-Coulomb准则时使得计算难以收敛。许多学者对Mohr-Coulomb准则进行了改进，以期提高数值计算的收敛性并得到较好的逼近Mohr-Coulomb准则的结果。广义Mises屈服准则作为Mohr-Coulomb准则改进后的屈服准则以其良好的收敛性在岩土工程和坝基工程中得到了广泛的应用。但各广义Mises屈服准则自身或在应用的过程中也存在一些问题，一些学者企图通过发展更新的广义Mises屈服准则来完善对Mohr-Coulomb准则的改进。那么广义Mises屈服准则究竟在多大程度上逼近Mohr-Coulomb准则以及能不能发展新的广义Mises屈服准则来较好地逼近Mohr-Coulomb准则？这都是值得研究的问题。

3.2.1　Mohr-Coulomb屈服准则的改进

由于Mohr-Coulomb屈服准则在π平面和子午面上存在奇异点，这使得数值计算变得困难。为此，研究者作了很多工作来修正Mohr-Coulomb准则。总的说来这些修正工作主要体现在π平面内抹圆六边形的棱角，子午线采用二次式。

3.2.1.1　π平面上棱角的修圆

由式（3.1-4）可知，当静水压力I1为常数时，即可得出π平面内与Lode角θσ的关系式（图3.2-1），当θσ为常数时即可得出子午面上I1与的关系曲线。由此可见：π平面上屈服曲线总是几何相似，而子午面上的子午线总是随Lode角按比例变化。一般说来，式（3.2-1）形式的曲面都具有这样的特性，而Mohr-Coulomb准则只是其中的一种。

若写成二次型形式，则为

式中）；σm＝I1/3；g（θσ）表示π平面上屈服曲线随Lode角θσ变化的规律，图3.2-1中曲线（1）和曲线（2）的g（θσ）可以分别采用式（3.2-3）、式（3.2-4）表示：

式（3.2-4）形式比较简单，但（或φ＜22°）时才能保证屈服面的外凸性。以上两式计算的结果很相近，且均能满足时，的条件，所以在θσ＝处曲线的切线是连续的，而不再是角点，起到了修圆角点的作用。K为三轴拉伸强度和三轴压缩强度的比值，当时，以上两式均能满足g（θσ）＝1，当时，以上两式均能满足g（θσ）＝K。总之，它们体现了抹圆了角的不等边六角形所应具备的条件。

对于Mohr-Coulomb准则，有

式中；此时表示为一直线，在处有角点。

根据Mohr-Coulomb准则内外角条件，由式（3.2-5）可以导出：

式（3.2-6）表明，K值仅与内摩擦角φ有关，而且K总是不大于1的，也就是说抗拉强度总是不会大于抗压强度，φ值越小，K越大，只有当φ＝0时，K＝1。

3.2.1.2　子午面上顶点的修圆

对屈服函数子午面上顶点进行修圆既可以方便数值计算，还可以调节材料的抗拉能力以避免对某些材料抗拉能力的过高估计。采用二次式修圆子午面上顶点有如下三种形式：

对于双曲线式，其屈服曲线方程为

该双曲线以Mohr-Coulomb包络线为其渐近线，并考虑Mohr-Coulomb准则在σ＋-σm平面上，若按形如式（3.2-2）二次式表示，则，其中

对于抛物线式，其屈服线方程为：

若按形如式（3.2-2）二次式表示，则β＝0，，对于a和d，只能采用曲线拟合的方法，在实用范围内选取其最佳值。

对于椭圆式，其屈服准则为

椭圆子午线方程式的特点在于它是“封闭型”的曲线，它既能考虑岩土材料的软化，也能考虑岩土材料的硬化，因此更符合岩土材料的实际。假设椭圆屈服面的两个顶点与Mohr-Coulomb线相交，根据以上条件，若按形如式（3.2-2）二次式表示，则， α1＝-2（a-a1）tan2，其中

3.2.2　广义Mises屈服准则精度的研究

在Mohr-Coulomb准则的改进屈服准则中，广义Mises屈服准则在工程中使用最为广泛。1952年Drucker和Prager对Mohr-Coulomb准则进行角隅修圆而成了一内切圆锥面，这就是通常所说的Drucker-Prager准则，它是三向应力状态Mohr-Coulomb准则的下限。该模型在Mises模型的基础上考虑了静水压力的影响，在主应力空间构造出一个圆锥面的屈服面，锥顶与Mohr-Coulomb准则的屈服面的锥顶重合，能反映岩土材料剪切引起膨胀的性质，便于数值计算。遗憾的是它与Mohr-Coulomb准则计算出来的成果有一定差异，后来研究者试图通过一些研究工作来减少这种差异。如1990年徐干成、郑颖人提出了等面积圆锥屈服准则；2002年张鲁渝、时卫民等人在平面应变条件下基于非关联流动法则推出了一个新的Drucker-Prager准则等，这些屈服准则和Drucker-Prager准则、外角外接圆锥屈服准则、内角外接圆锥屈服准则都可以称为广义Mises屈服准则。由于各种广义Mises屈服准则均可以写成式（3.2-10）的形式。本节仅采用常用的广义Mises屈服准则如外角外接圆锥屈服准则、摩尔库仑等面积圆锥屈服准则和内切圆锥屈服准则来进行研究。

3.2.2.1　Mohr-Coulomb准则与广义Mises屈服准则之间的关系

由式（3.2-4），Mohr-Coulomb准则可以写成如下形式：

当θσ＝30°时，屈服函数在π平面内是与Mohr-Coulomb准则六边形的外角点外接的圆，也称为外角外接圆锥屈服准则。对应的α，k的取值如式（3.2-12）：

当θσ＝-30°时，屈服函数在π平面内是与Mohr-Coulomb准则六边形的内角点外接的圆，即内角外接圆锥屈服准则。对应的α，k的取值如式（3.2-13）：

当屈服函数在π平面内为与Mohr-Coulomb准则六边形内切的圆时，即内切圆锥屈服准则，此时，对应的α，k的取值如式（3.2-14）：

当屈服函数在π平面内是与Mohr-Coulomb准则六边形面积相等圆时，即为摩尔库仑等面积圆锥屈服准则，此时θσ取值如式（3.2-19）

将满足式（3.2-15）的θσ值代入式（3.2-11）即可得到对应的α，k值。

这样式（3.2-10）就在形式上将Mohr-Coulomb准则与广义的Mises屈服准则统一起来。它们在π平面上的曲线如图3.2-3所示。

3.2.2.2　广义Mises屈服准则逼近Mohr-Coulomb准则的精度研究

从式（3.2-10）～式（3.2-16）可以看出，广义Mises屈服准则是Mohr-Coulomb准则在θσ角取定值的特例，外角外接圆屈服准则是材料处于纯压状态时的屈服准则，它是三向应力状态下Mohr-Coulomb准则的上限，内切圆锥屈服准则是三向应力状态Mohr-Coulomb准则的下限，而其余的广义Mises屈服准则则介于上限和下限之间。

由于计算α，k的表达式有许多，而且一些新的表达式还在产生，但用不同的公式计算的结果也不一样。据O.C.Zienkiewicz等人研究，按不同的α，k值所求得的极限荷载相差4～5倍之多。郑颖人等人采用多种广义Mises屈服准则对边坡的稳定性进行计算分析，认为等面积圆锥屈服准则最逼近Mohr-Coulomb准则的广义Mises屈服准则，并且这一结论也得到了一些学者的认同。等面积圆锥屈服准则也成为岩土工程中使用较多的广义Mises屈服准则。以下分别以边坡和简支梁为例来对广义Mises屈服准则逼近Mohr-Coulomb准则的精度和局限性进行研究。

3.2.2.3　算例

算例1：如图3.2-4为一均质边坡，假定φ＝20°，c/γH＝0.05，容重γ＝23kN/m3，变形模量为E＝80MPa，泊松比ν＝0.43，材料符合关联流动法则，分别采用Mohr-Coulomb准则、外角外接圆锥屈服准则、摩尔库仑等面积圆锥屈服准则和内切圆锥屈服准则对边坡进行基于强度储备系数的非线性有限元计算。不同屈服准则下边坡屈服区随强度储备系数的发展如图3.2-5～图3.2-10所示。

从以上塑性区分布图可以看出，对边坡的稳定性进行弹塑性分析时，分别采用各广义Mises屈服准则和Mohr-Coulomb准则不会改变边坡的破坏形式，即首先坡顶和坡角出现屈服区，随着强度储备系数的增加，边坡顶部和坡角处的屈服区不断增大，相向发展，直至贯通，形成圆弧形的滑动面。

由于采用的屈服准则不同，在相同的强度储备系数下各屈服准则对应的屈服区是不同的：外接圆锥屈服准则是三向应力状态下Mohr-Coulomb准则的上限，对应的屈服区最小；内切圆锥屈服准则是三向应力状态下Mohr-Coulomb准则的下限，对应的屈服区最大；摩尔库仑等面积圆锥屈服准则和Mohr-Coulomb准则对应的屈服区则介于上限和下限之间，但这两个屈服准则对应的屈服区很接近。若采用屈服区贯通作为边坡失稳的判据，则表征边坡安全度的强度储备系数见表3.2-1。

从表3.2-1可以得到这样的结论：与Mohr-Coulomb准则相比较，采用外接圆锥屈服准则得到的安全系数偏大，偏于危险；采用内切圆锥屈服准则得到的安全系数略小，偏于保守；采用等面积圆锥屈服准则得到的安全系数与Mohr-Coulomb准则相同。摩尔库仑等面积圆锥屈服准则是假设在π平面内Mises圆面积与Mohr-Coulomb准则不等边六边形面积相等从而推导出来的一种广义Mises屈服准则，而且很多学者也认为等面积圆锥屈服准则是替代Mohr-Coulomb准则的较好选择。

算例2：向家坝泄12坝段。

分别采用外接圆锥屈服准则、摩尔库仑等面积屈服圆锥、Mohr-Coulomb准则和内切圆锥屈服准则对泄12坝段进行了研究。

从以上屈服区分布图可以看出：外接圆锥屈服准则对应的屈服区最小；内切圆锥屈服准则对应的屈服区最大；摩尔库仑等面积圆锥屈服准则和Mohr-Coulomb准则对应的屈服区则介于两者之间。而且摩尔库仑等面积圆锥屈服准则对应的屈服区明显比Mohr-Coulomb准则对应的屈服区大。若采用屈服区贯通作为边坡失稳的判据，则表征边坡安全度的强度储备系数见表3.2-2。

从表3.2-2可以看出：与Mohr-Coulomb准则得到的强度储备系数最为接近的是外接圆锥屈服准则，它们之间的强度储备系数相差0.2，而Mohr-Coulomb等面积圆锥屈服准则无论是屈服区的分布还是得到的强度储备系数均与Mohr-Coulomb有较大差距。

3.2.2.4　分析和讨论

以上算例说明，等面积圆锥屈服准则并不总是最逼近Mohr-Coulomb准则的广义Mises屈服准则，因此需要对以上两个算例进行更深一步的分析，探讨广义Mises屈服准则的局限性和适用范围。

广义Mises屈服准则是Mohr-Coulomb准则θσ角取定值的特例，它们的θσ角与主应力的变化无关，而Mohr-Coulomb准则的θσ角是随着各主应力的变化在［-30°，30°］变动，是动态的。因此研究Mohr-Coulomb准则与广义Mises屈服准则之间的差异应从θσ角入手。图3.2-12～图3.2-16为采用Mohr-Coulomb准则计算出来的边坡θσ角等值线图。图3.2-17和图3.2-18分别为强度储备系数为1.0和1.5时的θσ等值线图。图3.2-19和图3.2-20分别为向家坝泄12坝段坝基强度储备系数为1.0和1.9时的θσ等值线图。

从图3.2-12～图3.2-14边坡的θσ角等值线图可以看出，边坡不同区域θσ角的分布是不一样的，θσ角是反映材料受力状态的参量，这就说明了边坡各部位的受力情况不同。从等值线大小的分布来看，大致可以分为三个区：从坡角高程到坡顶高程边坡产生滑动的区域内，θσ角值在一个较小的区域［7.8°，12.7°］之间变动，可以判断边坡失稳是略微受压的剪切破坏；边坡滑动区域的基座部位主要受压，θσ角值在［12.7°，27.4°］之间变动；由于边坡的滑动，在坡前下部的区域也产生了一些拉应力区，这部分区域的θσ角变化很大，在［-11.8°，27.4°］之间变动。Mohr-Coulomb准则能完全反映这些θσ对应的屈服强度，而各广义Mises屈服准则只是Mohr-Coulomb准则在θσ取定值时的特例，它只能反映一个特定的θσ所对应的屈服强度，因此屈服区就产生了差异。

表3.2-3列出了算例1采用的外角外接圆锥等三个广义Mises屈服准则在不同强度储备系数下对应的θσ角。

由一个只能代表特定θσ角所对应屈服强度的广义Mises屈服准则是不能反映各区域和各单元屈服强度的，而且同一部位和单元的应力状态是变化的，使所采用的广义Mises屈服准则始终与它们的应力状态保持一致是很困难的。

那么是不是只有屈服准则能反映各区域各单元θσ对应的屈服强度才能得到合理的屈服区分布呢？在以上三个广义Mises屈服准则中，采用Mohr-Coulomb等面积圆锥屈服准则与Mohr-Coulomb准则计算出来的结果是非常接近的。从表3.2-3知道，摩尔库仑等面积圆锥屈服准则对应的θσ角值在11°附近变动，与边坡产生滑动区域内的θσ角值最为接近，与其他部位则差距较大。

对于向家坝泄12坝段来说，尾岩抗力体及夹层JC2-7等滑动面为保持坝体坝基的稳定起到了重要的作用，因此采用的屈服准则所对应的Lode角应能反映这些部位的应力状态。从图3.2-19和图3.2-20可以看出，在强度储备系数在1.0到1.9之间时，尾岩抗力体部位的Lode角在［20°，26°］之间，夹层JC2-7在［13.4°，20°］之间。由于尾岩部位是由多种材料组成，难以采用一个Lode角值反映不同材料等面积圆锥屈服准则和内切圆锥屈服准则对应的Lode角值（这些材料中Mohr-Coulomb等面积圆锥屈服准则的最大值为9°左右），这里就不再列出。三个广义Mises屈服准则中，外角外接圆锥屈服准则对应的Lode角为30°，与尾岩抗力体和夹层JC2-7等部位的Lode角接近，因此计算出来的结果与Mohr-Coulomb准则也最为接近。一些对于深层抗滑稳定影响不大的部位，虽然其应力状态与外角外接圆锥屈服准则所对应的应力状态相差较大，但对坝基的稳定分析影响不大。

由以上的分析可以得到如下结论：

（1）当区域单元的Lode角变化较小时，采用反映相应受力状态的广义Mises屈服准则能得到较为理想的结果。

（2）坝基滑动部位选用的屈服准则对坝基的稳定性分析有重要影响，其他部位选用Lode差别较大的屈服准则对边坡的稳定性影响相对较小。因此并不需要所选择的屈服准则能反映所有区域和单元的应力状态，但在滑移通道以及附近的部位所选用的屈服准则应反映该区域的应力状态所对应的屈服强度。

（3）对于尾岩抗力体部位受到挤压破坏而造成的坝基失稳，外角外接圆锥屈服准则能较好模拟重力坝的破坏模式。

（4）广义Mises屈服准则只能代表的特定Lode角所对应屈服强度，所以广义Mises屈服准则不能完全替代Mohr-Coulomb准则。