2.8 剪切和挤压的实用计算

2.8.1 剪切的实用计算

在工程实际中，常常会遇到剪切问题。例如，如图2.38所示剪切钢板、冲孔及各种连接件（螺栓、铆钉及键连接等）的失效，都与剪切破坏有关。

由图2.38可见，剪切的特点如下：

（1）外力。构件上作用着一对大小相等、方向相反、作用线间的距离很小（转动效果可以忽略）的平行力。

（2）变形。剪切变形的特点是在二力间的截面发生相互错动，直至发生剪切破坏。

可能发生剪切破坏的截面称为剪切面。

剪切面可以是平面，如：图2.38（a）中剪板时的剪切面在力F与支反力F1之间，剪切面的面积等于板宽乘以板厚；图2.38（c）中铆钉连接的剪切面在两板之间，剪切面面积等于铆钉的横截面积；图2.38（d）中键连接情况下的剪切面在轴和齿轮连接处键的切面上，剪切面面积等于键的宽度乘长度。这些剪切面都是平面，且图2.38（c）中两块板用铆钉连接的情况，只有一个剪切平面，称为单剪；三块板用铆钉连接的情况，有两个剪切平面，称为双剪。

剪切面也可以不是平面，如图2.38（b）中冲孔时的剪切面是圆柱面，剪切面面积等于落料（被冲落的部分材料）的周长乘以其厚度。作用在剪切面上的内力称为剪力，记作Q。因为Q是内力，故需要用截面法沿剪切面将构件切开，在剪切面上画出剪力Q，然后再由平衡方程求得，如图2.38所示。

连接件一般并非细长杆，剪切变形发生在靠近载荷作用的局部，不利于变形观测，情况比较复杂。这里仅介绍根据实践经验进行简化后，给出的实用剪切强度计算方法。以图2.38（c）中两块板用铆钉连接的单剪情况为例，取沿剪切面切开的部分铆钉来研究，受力如图2.39所示，剪切面上的内力称为剪力，由平衡条件容易得出

剪力Q分布作用在剪切面上，其实际分布情况相当复杂。工程中假定其分布是均匀的，以平均切应力作为剪切面上的切应力（称为名义切应力），则有

即切应力τ等于截面上的剪力Q除以剪切面面积A。

为了保证构件不发生剪切破坏，由式(2.24)计算的工作切应力应当不大于材料的许用切应力［τ］，故剪切强度条件写为

式中 τb——材料的剪切强度，由剪切试验确定；

n——大于1的剪切安全系数，它为构件抵抗剪切破坏提供了必要的安全储备。

可以看出，强度条件的左端都是工作状态下的控制参量（如工作应力），由分析计算给出；右端则都是由试验确定的，该控制参量的临界值为考虑安全储备后的许用值。

而对于剪板、冲孔等，则要求需要时应保证工件被剪断，故应满足剪断条件：

一般情况下，金属材料的许用切应力与许用拉应力间有下述经验关系：

2.8.2 挤压的实用计算

工程实际中，构件在承受剪切的同时，往往还有挤压现象伴随在一起。图2.40中显示出了图2.38中铆钉、键连接情况下，与剪切同时发生的挤压现象。

挤压的特点是：

（1）外力。在接触面间承受着压力，如钉和孔壁间、键和键槽壁间都有相互作用的压力。

（2）变形。若在构件相互接触的表面上作用的挤压力过大，则接触处局部会发生显著的塑性变形（塑性材料）或压碎（脆性材料）。

接触面间所承受的压力称为挤压力（这里应当指出，对于相接触的两者而言，挤压力并不是内力），记作Fjy。只需将相互挤压的两物体分离开，任取其一研究，即可由平衡方程确定挤压力Fjy，如图2.40所示。挤压力作用的接触面称为挤压面，挤压面可以是平面，如图2.40所示键的挤压面，也可以不是平面,如图2.40所示钉的挤压面为半个圆柱面。钉与孔间的挤压将会使钉、孔的圆形截面变扁，导致连接松动而影响正常工作；键与键槽间的挤压过大会造成键或槽的局部变形或压碎，导致键连接不能传递足够的扭矩甚至发生事故。

在工程中，假定挤压力均匀分布在计算挤压面上，定义挤压应力σjy为

式中 Fjy——挤压力；

Ajy——挤压面的计算挤压面积。

若挤压面为平面，计算挤压面积Ajy即为实际挤压面面积，如图2.40中键的挤压面。若挤压面是曲面，则以挤压面在垂直于挤压力之平面上的投影面积作为计算挤压面积。如图2.40之铆钉与板连接中，半圆柱挤压面的计算挤压面积等于其在垂直于挤压力Fjy之平面上的投影面积，即Ajy等于铆钉直径d与板厚t之积，如图2.41（a）所示。因为挤压面是构件（如板和钉）间的相互接触面，故与钉连接的板上的孔边挤压面也为圆柱面，其计算挤压面积同样为Ajy=td。

图2.41（b）表示的是挤压面上的实际应力分布情况，按照式（2.27）计算的挤压应力（名义挤压应力σjy）如图2.41（c）所示。

挤压强度条件可写为

材料的极限挤压应力σjyb也应由试验测定，许用挤压应力［σjy］同样应由试验确定的极限挤压应力σjyb除以安全系数后给出。一般情况下，有

【例2.13】 联轴节如图2.42所示。四个螺栓对称配置在D=480mm的圆周上，传递扭矩T=24kN·m。若所选用材料的［τ］=80MPa，［σjy］=120MPa，试设计螺栓的直径d和连接法兰最小厚度t。

分析：螺栓成轴对称分布，可以认为每个螺栓的受力是相同的。螺栓杆和孔壁之间作用有挤压力，挤压力对圆心产生的力矩与传递的扭矩平衡，可以由平衡方程求出。螺栓杆中剪切面上的剪力如图2.39所示。一般先考虑螺栓杆的剪切强度，再考虑挤压强度。

解：（1）考虑螺栓剪切强度。沿剪切面将螺栓截断，取右段研究，受力如图2.42（a）所示，由平衡条件有

即每个螺栓承受的剪力为

螺栓杆的剪切强度条件为

得到

可取

（2）考虑螺栓挤压强度。解除螺栓约束，取右端法兰盘研究，受力如图2.42（b）所示，由平衡条件有

挤压强度条件为

即有

故设计中可选用

【例2.14】 如图2.43（a）所示为铆接接头，板厚t=2mm，板宽b=15mm，板端部长a=8mm，铆钉直径d=4mm，拉力P=1.25kN。铆钉材料的许用剪切应力［τ］=100MPa，许用挤压应力［σjy］=300MPa，拉板的挤压强度与铆钉相同，拉板的拉伸许用应力［σ］=160MPa。试校核此接头的强度。

分析：整个接头的强度问题包含以下四个方面：①铆钉的剪切强度；②铆钉与拉板钉孔处的挤压强度，由于两种材料的挤压强度相同，只计算一个就可以了；③拉板端部纵向截面积［图2.43（c）中的2—2截面］处的剪切强度，但是若端部长度a大于铆钉直径d的两倍，则钉孔后面拉板纵截面的剪切强度是安全的，不会被“豁开”；④拉板因钉孔处截面“净面积”被削弱，需要考虑此处的拉伸强度。

解：（1）铆钉剪切与挤压强度计算。铆钉的剪切面为1—1截面 [图2.43（a）]，其上剪力为

则剪切面上的切应力

铆钉所受的挤压力为P，铆钉与板实际接触面为半个圆柱面，有效挤压面积为Ajy=dt，挤压强度条件为

因拉板与铆钉的材料相同，故其挤压强度计算与铆钉相同。

（2）拉板被削弱截面的拉伸强度计算。拉板削弱处［图2.43（b）］的截面面积为A=t（b-d），故拉应力为

因此，本例接头强度是安全的。

【例2.15】 如图2.44所示，将板1焊接在板2上，已知焊缝材料的许用剪切应力［τ］=110MPa，所受拉力P=120kN，板1的厚度t=8mm，试求图示焊缝的长度l。

分析：边焊缝的破坏是沿最小的剪切面发生剪断的。一般将焊缝截面近似为一个等腰三角形［图2.44（b）］，则最小剪切面的一边就是此三角形斜边的高，而剪切面积A=tlsin45°。

解：剪切面上的剪力

焊缝的剪切强度条件为

按工程规范，焊缝长度应比计算值增加1cm。