3.3 纯剪切

3.3.1 薄壁圆筒扭转时的应力

如图3.7（a）所示的圆筒，平均半径为r，壁厚度为t，当r≫t时，称为薄壁圆筒。薄壁圆筒的计算结果是近似的，其误差取决于r和t的比值 （理论上r/t越大计算精度越高）。当r/t＞8时，通常满足工程计算中精度的要求。对薄壁圆筒进行扭转试验后发现：

（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ。

（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

根据试验现象及受力和变形的轴对称性质，首先可以假定横截面上没有正应力，原因如下：①在扭转变形发生过程中，薄壁圆筒的表面形状、长度和大小都没有改变；②假定横截面上的切应力方向与径向垂直，如果横截面上的切应力与径向不垂直，即有径向切应力分量。其作用结果必然使变形失去轴对称性质，这与试验结果不相符；③由于t很小,可以假定横截面上的切应力在厚度方向上均匀分布而无变化。

以上三个假定中，前两个得到了理论和试验的证明，第三个假定是与实际不相符合的，主要是为了计算方便。根据以上假定，应用截面法，并考虑图3.7(c)中q—q截面左侧部分的平衡方程：

3.3.2 切应力互等定理

图3.7（d）是从图3.7（c）薄壁圆筒上截取的小方块单元体，它的厚度为圆筒壁厚t，宽度和高度分别为dx、dy。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p—p、q—q圆周面的左、右侧面，因此在这两个侧面上有剪力τtdy，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为（τtdy）dx。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对切应力τ′作用（据∑Fx=0，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足∑Mz=0，即

所以

式(3.3)表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的切应力应大小相等，方向共同指向或背离交线，这就是切应力互等定理。

3.3.3 剪切胡克定律

单元体各面上只有切应力，没有正应力的情形称为纯剪切。如图3.7(e)所示，此时单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ，这就是切应变。由图3.7(b)可知，若φ为薄壁圆筒两端的相对转角，l为圆筒的长度，则切应变为

利用上述薄壁圆筒的扭转可以实现纯剪切试验。通过试验，我们可以得到材料的切应力τ和相应切应变γ的关系曲线。如图3.8所示，对于大多数材料而言，τ不是很大时，即τ≤τp时，τ和γ之间是线性的关系，这个极限切应力τp叫作剪切比例极限，τ-γ的线性关系可以写成

式中 G——剪切弹性模量，是τ和γ的比例常数。

对各向同性材料，弹性模量E、剪切弹性模量G和泊松比μ，有如下关系：

因此各向同性线弹性材料只有两个独立的弹性常量（E、G和μ其中的两个）。