工程力学(Ⅱ)(第2版)
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3.4 圆轴扭转时的应力和变形

3.4.1 圆轴扭转时横截面上的应力

在已知圆轴横截面上的扭矩后,应进一步研究横截面上的应力分布规律,以便求出整个截面的最大应力。要解决这一问题,须联合应用下列三个关系,即:根据变形现象找出变形几何关系;利用物理关系找出应力分布规律;利用静力学关系,导出应力计算公式。

1.变形几何关系

为观察实心圆轴的扭转变形,与薄壁圆筒受扭一样,在圆轴表面上做圆周线和纵向线[在图3.9(a)中,变形前的纵向线由虚线表示]。在扭转力偶矩Me作用下,得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。即:各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度,但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下,纵向线仍近似地是一条直线,只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格,变形后错动成菱形。

根据观察到的现象,做下述基本假设:圆轴扭转变形前原为平面的截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设,扭转变形中,圆轴的横截面就像刚性平面一样,绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式,符合试验结果,且与弹性力学一致,这说明假设是合理的。

图3.9

在图3.9(a)中,φ表示圆轴两端截面的相对转角,称为扭转角,其单位为rad。用相邻的横截面p—pq—q从轴中取出长为dx的微段,并放大为图3.9(b)。若截面p—pq—q的相对转角为dφ,则根据平面假设,横截面q—q像刚性平面一样,相对于p—p绕轴线旋转了一个角度dφ,半径Oa转到了Oa′。于是,表面方格abcdab边相对于cd边发生了微小的错动,错动的距离是

因而引起原为直角的∠abc角度发生改变,改变量

即为圆轴截面边缘上a点的切应变。显然,γ发生在垂直于半径Oa的平面内。

根据变形后横截面仍为平面,半径仍为直线的假设,用相同的方法,并参考图3.9(c),可以求得距圆心为ρ处的切应变为

与式(a)中的γ一样,γρ也发生在垂直于半径Oa的平面内。在式(3.7)和式(3.8)中,是扭转角φ沿x轴的变化率,又称为单位长度扭转角。对一个给定的截面来说,它是常量。故式 (3.8)表明,横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。

2.物理关系

τρ表示横截面上距圆心为ρ处的切应力,由剪切胡克定律知

将式(3.8)代入式(3.9)得

这表明,横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。因为γρ发生在垂直于半径的平面内,所以τρ也与半径垂直,如再注意到切应力互等定理,则在纵向截面和横截面上,沿半径切应力的分布如图3.10所示。

因为式 (3.10)中的单位长度扭转角尚未求出,所以仍不能用它计算切应力,这就要用静力关系来解决。

3.静力关系

图3.11的横截面内,按极坐标取微面积dA=ρdθdρ。dA上的微内力为τρdA,对圆心的力矩为ρτρdA。积分得横截面上内力系对圆心的力矩为dA。可见,这里求出的内力系对圆心的力矩就是截面上的扭矩,即

图3.10

图3.11

将式(3.10)代入式(3.11),并注意到在给定的截面上,为常量,于是有

Ip表示上式中的积分,即

Ip称为横截面对圆心O点的极惯性矩。这样,式(3.12)便可写成

从式 (3.10)和式 (3.14)中消去,得

由以上公式,可以算出横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力。

在圆截面边缘上,ρ为最大值R,得最大切应力为

引用记号

Wt称为抗扭截面系数,便可把式(3.16)写成

以上诸式是以平面假设为基础导出的。试验结果表明,只有对横截面不变的圆轴,平面假设才是正确的,所以这些公式只适用于等直圆杆。对圆截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆,也可近似地用这些公式计算。此外,导出以上诸式时使用了胡克定律,因而只适用于τmax低于剪切比例极限的情况。

3.4.2 常见截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wt的计算

直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数,见图3.12。

取微面积dA=ρdθdρ,代入到式(3.13)中,得到极惯性矩,即

把式3.19代入到式(3.17)中得到抗扭截面系数为

对于如图3.13所示的空心圆截面,用相同的的方法可以求出其极惯性矩和抗扭截面系数:

其中,α是内径与外径之比,即

空心圆截面上的切应力分布如图3.14所示。

图3.12

图3.13

图3.14

【例3.2】 如图3.15(a)所示的一端固定的阶梯圆轴,受到外力偶M1M2的作用,M1=1800N·m,M2=1200N·m。求固定端截面上ρ=25mm处的切应力,以及轴内的最大切应力。

图3.15

解:(1)画扭矩图。用截面法求阶梯圆轴的内力并画出扭矩图[图3.15(b)]。

(2)求固定端截面上指定点的切应力。

(3)求最大切应力。分别求出粗段和细段内的最大切应力:

比较后得到圆轴内的最大切应力发生在细段内:

由此可知,直径对切应力的影响比扭矩对切应力的影响要大,所以在阶梯圆轴的扭转变形中,直径较小的截面上往往发生较大的切应力。