3.4 地基上梁的数值分析

3.4.1 基本概念

3.3节给出了文克勒地基上梁的解析解，但如果基床系数沿梁长方向不是常数，或采用了非文克勒地基模型，那么就无法求得解析解，而只能寻求近似的数值解。

地基上某点i的沉降si与基底压力pi之间的关系，仍可以采用式(3.1)的形式，即

式中，ki对于文克勒地基模型，其为常量，而对于非文克勒地基模型来说则其值是待定的。在数值分析时，ki需预先选取假定的初值，然后通过迭代计算逐步逼近真值。由于这种基床系数不但沿基底平面是变化的，而且在各轮迭代计算中也不断变化，所以称为“变基床系数”。

地基上梁的数值分析方法很多，常见的主要包括有限单元法、有限差分法等。这里仅介绍最常用的有限单元法。

3.4.2 有限单元法

1.梁的刚度矩阵

将梁分成m段（图3.16），每段长可以不等。把每个分段作为一个梁单元，分段处和梁的变截面处都是节点位置。梁单元和节点编号如图3.16所示，节点总数n=m+1。在每个节点下分别设置一根弹簧，以Li、bi与Li+1、bi+1分别代表节点j两边的单元长度和梁底宽度，则第j根弹簧的弹簧力Rj则代表基底面积fi=（Libi+Li+1bi+1）/2上的基底总反力。设此反力在面积fj上是均布的，并以pj表示，弹簧的压缩变形代表此处的地基沉降sj。根据接触条件，地基沉降应等于梁上相应节点的竖向位移，即sj=ωj，于是，按变基床系数的定义式（3.36），有

式中，Kj=kifj称为面积fj上的集中变基床系数。

由此，地基上的梁就变成支承在n个不同刚度(K1，K2，…，Kn)的弹簧支座上的梁(图3.16)，而连续的基底反力也就离散为n个集中反力(R1，R2，…，Rn)。

梁单元的单元刚度矩阵［k］e为

式中 E——梁单元材料的弹性模量；

I——梁单元的截面惯性矩；

L——梁单元长度。

设节点j的竖向位移和转角分别为ωj和θj；节点力(竖向力和力矩)分别为Fj和Fmj，则节点力与节点位移间的关系可以用矩阵形式表示为

式中 {F}——节点力列向量：{F}={F1,Fm1,F2,Fm2,…，Fn,Fmn}T；

{ω}——节点位移列向量：{ω}={ω1,θ1,ω2,θ2,…,ωn,θn}T；

［Kb］——梁的刚度矩阵，按对号入座原则由单元刚度矩阵组合而成。

2.地基上梁的刚度矩阵

与梁节点的各个竖向位移和转角相对应，地基在任一节点j处也要考虑沉降sj和基底倾斜θj两个方面。由于地基（即弹簧）与梁底接触处只能承担竖向集中反力Rj=Kjsj，而不能抵抗转动。因此，基底反力偶Rmj=0。基底反力列向量{R}={R1,Rm1,R2,Rm2,…,Rn，Rmn}T和基底沉降列向量{s}={s1,θs1,s2,θs2,…,sn,θsn}T之间存在以下关系，即

式中 ［Ks］——地基刚度矩阵：

根据梁上各节点的静力平衡条件，作用于任一节点j的集中基底反力、节点力和节点荷载（竖向力Pj和集中力偶Mj）之间应满足条件Rj+Fj=Pj和Rmj+Fmj=Mj，即

式中 {P}——节点荷载列向量：{P}={P1,M1,P2,M2,…，Pn，Mn}T。

按接触条件，令式（3.40）中{s}={ω}后，与式（3.39）一起代入式（3.41），可得

令

则

式中 ［K］——地基上梁的刚度矩阵。

对于文克勒地基上的梁，各节点下的集中基床系数Kj为已知，故由式(3.44)可解得{ω}，再按式(3.37)可求得基底反力。对于梁任意截面上的弯矩和剪力，可以利用各梁单元杆端力与杆端位移的关系求解，也可以按静力分析法计算。对于非文克勒地基上的梁，由于集中变基床系数在计算前无法预知，因此需采用迭代算法。

3.4.3 迭代计算步骤

采用迭代算法计算非文克勒地基上的梁内力时，可按以下步骤进行。

(1)初选一基床系数k，计算集中变基床系数Kj=kfj。

(2)按式(3.44)计算梁节点位移{ω}。

(3)根据接触条件{s}={ω}和式(3.37)计算基底反力{p}和集中基底力{R}，其中pj=kjfj。

(4)按式(3.5)计算由{p}(或{R})引起的基底沉降{s}。

(5)计算集中变基床系数Kj=Rj/sj。

(6)重复以上第(2)~(5)各个步骤，直至某轮计算中的基底反力与上一轮的基底反力的相对误差满足要求为止。

(7)根据最后一轮所得的基底反力，计算梁各截面的内力。

在以上迭代计算中，如果出现某点的基底反力pj<0，则表示该点计算所得的反力为拉力，该处的基底与地基脱开，接触条件在该点得不到满足。此时，可令相应的Kj=0，然后再从第(2)个步骤开始下一轮计算。

3.4.4 地基柔度矩阵

在每轮迭代计算中，都要按式(3.4)以地基柔度矩阵［δ］计算基底沉降{s}，因此应先建立［δ］矩阵以供各轮计算所用。

由于梁的横向刚度很大，因此在计算［δ］中的沉降系数δij时，应考虑梁横向刚度的影响。可将基底沿梁宽等分成若干个小面积，分别求得i段各小面积中由pj=1/fj引起的沉降，取其平均值作为δij。