第三节 缓和曲线
缓和曲线是在直线与圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间设置的一种曲率连续变化的曲线。《公路工程技术标准》（JTGB01-2003）规定，除四级公路可不设缓和曲线外，其余各级公路都应设置缓和曲线。在城市道路上，缓和曲线也被广泛地使用。
一、缓和曲线的作用
设置缓和曲线主要起到以下作用。
（1）有利于驾驶员操纵方向盘。汽车从直线驶入圆曲线或从大半径圆曲线驶入小半径圆曲线时，其中间需要插入一个曲率逐渐变化的缓和曲线，使汽车保持车速不变，而前轮的转向角从0至α逐渐转向，从而有利于驾驶员操纵方向盘。
（2）消除离心力的突变，提高舒适性。当圆曲线半径较小时，离心力很大。为了使汽车能安全、迅速、平稳地从没有离心力的直线逐渐驶入离心力较大的圆曲线，或从离心力小的大半径圆曲线逐渐驶入到离心力大的小半径圆曲线，消除离心力的突变，必须在直线和圆曲线间，或大圆与小圆之间设置曲率半径随弧长逐渐变化的缓和曲线。
（3）完成超高和加宽的过渡。当圆曲线处需要设置超高和加宽时，一般应在缓和曲线长度内完成超高或加宽的过渡。
（4）与圆曲线配合得当，增加线形美观。圆曲线与直线径相连接，连接处曲率突变，在视觉上不平顺，设置了缓和曲线后，线形连续圆滑，增加了线形美观。
二、缓和曲线的性质
（一）汽车转弯时行驶的理论轨迹方程
考察汽车由直线进入圆曲线的行驶轨迹。如图24所示，先假定汽车是等速行驶，驾驶员等角速度转动方向盘，通过理论推导得出汽车转弯时的理论轨迹方程如下：
C=ρl
（2 6）
式中 C———常数，量纲设为m2；
图24 汽车进入曲线
l———汽车自直线终点进入曲线经一定时间后行
行驶轨迹图
驶的弧长，m；
ρ———汽车行驶经一定时间后行驶的弧长l处相对应的曲率半径，m。
（二）缓和曲线的线形选择
由式（26）可见，汽车匀速从直线进入圆曲线，其行驶轨迹的弧长与曲线的曲率半径之乘积为常数。数学上满足这一几何特性的曲线有很多。其中，由于回旋线与汽车由直线驶入圆曲线的轨迹完全相符且计算简便，道路设计规范规定缓和曲线采用回旋线。
数学上，回旋线是曲率随曲线长度成比例增大的曲线，由于式（26）中C量纲为m2，故取C=A2。因此，回旋线的数学表达式为：
ρl=A2
（2 7）
式中 A———回旋线的参数；
l———回旋线上任一点到回旋线起点的距离，m。
可见，在回旋线上任一点，ρ随l的变化而变化，在缓和曲线的终点处，ρ=R，l=
Ls，则式（2 7）可写成：
RLs=A2
（2 8）
式中 R———回旋线所连接的圆曲线半径，m；
Ls———缓和曲线长度，m。
由式（28）可见，只要设计选定圆曲线半径和缓和曲线长度，回旋线参数A就确定了。R确定圆的大小，A确定缓和曲线曲率变化的缓急，A越大则曲率变化越缓和。
三、缓和曲线最小长度
由于汽车在缓和曲线上完成不同曲率的过渡行驶，所以要求缓和曲线有足够的长度，以使驾驶员能从容地操纵方向盘，乘客感觉舒适，线形美观流畅，并且能顺利完成超高和加宽过渡，所以要规定缓和曲线的最小长度。
（一）控制离心加速度变化率，满足旅客舒适要求
汽车在缓和曲线上行驶时（速度v，m/s），离心加速度随着缓和曲线的曲率而变化，如果变化过快，将使乘客产生不适，因此需要控制离心力的变化率。
在缓和曲线起点处：半径ρ=∞，离心加速度α1=0；在缓和曲线终点处：半径ρ=R，离心加速度α2=v2/R。如果汽车从缓和曲线起点行驶到终点的时间为t，则
t=Ls
v
离心加速度变化率为：
as=Δtα=α2t-α1=Rv3Ls=0.0R2L14sV3
从乘客舒适性来看，αs不能过大，我国道路设计中采用αs=0.6m/s3，则有：
Ls=0.036
V3 R
（2 9）
式中 Ls———缓和曲线最小长度，m；
V———设计速度（V=3.6v），km/h；R———圆曲线半径，m。
（二）行驶时间不过短
不管缓和曲线的参数如何，都不可使车辆在缓和曲线上的行驶时间过短而使司机驾驶
操纵过于匆忙，一般认为汽车在缓和曲线上行驶时间至少应有3s，于是：
Lsmin=vt=Vt
=V
（2 10）
3.6
1.2
式中 Lsmin———缓和线最小长度，m；
V———设计速度，km/h。（三）满足超高渐变率的要求
设置超高时，应在缓和曲线上完成超高过渡，如果缓和曲线太短使超高渐变率太大，不但对行车和路容不利，还影响到舒适性；如果缓和曲线太长，超高渐变率太小，对排水不利。因此，缓和段长度应满足超高过渡的要求：
Lsmin≥Lc
（2 11）
式中 Lc———超高过渡段长度，m；
Lsmin———缓和曲线最小长度，m。
考虑上述影响缓和曲线长度的各项因素，我国公路及城市道路规范规定按设计速度来确定缓和曲线最小长度，同时考虑了行车时间和附加纵坡的要求，各级公路的缓和曲线最小长度见表23，城市道路缓和曲线最小长度见表24。
表2 3
各级公路的缓和曲线最小长度
注 四级公路为超高、加宽缓和段。
表2 4
城市道路缓和曲线最小长度
【例24】某平原区二级公路上有一平曲线，半径为420m。试设计计算该平曲线的最小缓和曲线长度。
解：（1）按离心加速度的变化率计算。
由标准查得，V=80km/h，则
Lsmin=0.036VR3=0.036×482030=43.89（m）
（2）按驾驶员的操作及反应时间计算。
Lsmin=1V.2=18.02=66.67（m）
（3）按超高渐变率计算。
由标准知：B=2×3.75=7.50m；
查表，超高渐变率1/150，超高取Δi=ib=0.06，则
Lsmin=BpΔi=7.51/×105.006=67.50（m）
（4）按视觉条件计算。
Lsmin=R9=4920=46.67（m）
R=420m
综合以上各项得：Lsmin=67.50m，最终取5的整倍数得Ls=70m。
四、设有缓和曲线的道路平曲线
道路平面线形三要素可根据道路等级、地形条件等进行合理的组合，形成不同的平面线形，如简单型曲线、基本型曲线、S形曲线、卵型曲线、凸形曲线、C形曲线、复合型曲线等。其中基本型曲线是由直线—缓和曲线—圆曲线—缓和曲线—直线组合而成的，如图25所示，设有缓和曲线的平曲线几何元素计算公式如下。
图25 设有缓和曲线的平曲线
（一）缓和曲线常数计算
缓和曲线的切线角：
β0=2LsR
（2 12）
切线增长值：
q=L2s-24L03sR2
（2 13）
内移值：
p=L2s
-L4s
（2 14）
24R
2688R3
（二）平曲线几何要素计算
平曲线切线长：
Th=（R+p）tanα2+q
（2 15）
平曲线总长：
Lh=（α-2β0）18π0R+2Ls
（2 16）
外距：
Eh=（R+p）secα2-R
（2 17）
超距：
Dh=2Th-Lh
（2 18）
式中 R———圆曲线半径，m；
Ls———缓和曲线长度，m；
α———路线转角，（°）；
β0———缓和曲线的切线角，（°）；
q———切线增长值，m；p———内移值，m；
Th———平曲线切线长，m；
Lh———平曲线总长，m；Eh———外距，m；
Dh———超距，m。
（三）主要里程点桩号计算
直缓点桩号：
ZH=JD-Th
缓圆点桩号：
HY=ZH+Ls
缓直点桩号：
HZ=HY+（Lh-Ls）
圆缓点桩号：
YH=HZ-Ls
曲中点桩号：
QZ=YH-（Lh-2Ls）/2
验算：
JD=QZ+Dh/2
（四）平曲线最小长度
设有缓和曲线的平曲线包括缓和曲线和圆曲线，不设缓和曲线的平曲线只有圆曲线。其长度除应满足设置回旋线或超高、加宽过渡的需要外，还应保留一段圆曲线。确定平曲线最小长度时，应考虑的因素有：离心加速度变化率不应太大、司机操作时间不宜太短、小角度（转角小于7°）转弯时不要产生错觉等。公路平曲线最小长度见表25，城市道路平曲线及圆曲线最小长度见表26。
表2 5
公路平曲线最小长度
表2 6
城市道路平曲线及圆曲线最小长度
五、缓和曲线省略条件
在直线和圆曲线之间设置缓和曲线后，圆曲线产生了内移值p=2L42sR，在缓和曲线Ls一定的情况下，内移值p与圆曲线半径成反比，当R大到一定程度时，p值甚微，即使直线与圆曲线径相连接，汽车也能安全行驶，因为在路面的富余宽度中已经包含了这个内移值。所以，公路路线设计规范规定，在下列情况下可不设缓和曲线：
（1）四级公路不设置缓和曲线，其线形由直线和圆曲线组成。
（2）在路线转折处，当圆曲线半径不小于“不设超高的最小半径”时。
（3）半径不同的同向圆曲线径相连接处，当小圆半径大于“不设超高的最小半
径”时。
（4）半径不同的同向圆曲线径相连接处，小圆半径大于表27中所列临界曲线半径，且符合下列条件之一者：①小圆按规定设置相当于最小缓和曲线长的回旋线时，大圆与小圆的内移值之差小于0.10m；②设计速度≥80km/h时，大圆半径R1与小圆半径R2之比
小于1.5；③设计速度＜80km/h时，大圆半径R1与小圆半径R2之比小于2。
表2 7
复曲线中的小圆临界曲线半径
《城市道路工程设计规范》（CJJ37—2012）所规定的不设缓和曲线的最小圆曲线半径
见表2 8。
表2 8
城市道路不设缓和曲线的最小圆曲线半径
