2.3 土中二维渗流及流网

达西定律所描述的渗流是简单边界条件下的一维渗流，为了评价渗流在实际工程如地基、坝体中的影响，需要考虑二维或三维渗流，以及复杂的边界条件，此时需要根据达西定律建立渗流控制方程并求解方程。

图2.8 二维渗流单元体渗流条件

2.3.1 二维渗流方程

当土体中形成稳定渗流场时，渗流场中水头及流速等渗流要素仅是位置的函数而与时间无关。

建立如图2.8所示的稳定渗流场平面坐标，任取一微单元体A=dxdz，单元厚度dy=1，设x方向和z方向的流速分别为v_x和v_z。

设单位时间内流入和流出此单元体的渗流量分别为dq_e和dq_o，有

若忽略水体的压缩性，则根据水流连续性原理，单位时间内流入和流出微单元体的水量应相等，即dq_e=dq_o，则由上述公式可以得出二维渗流方程为

对于各向异性土体，达西定律的表达式为

将式（2.20）代入式（2.19），可以得到以渗透系数k和测管水头h表示的渗流方程为

式中：k_x和k_z分别为x、z方向的渗透系数。

对于各向同性均质土，k_x=k_z，则式（2.21）可表示为

式（2.22）即为著名的拉普拉斯（Laplace）方程，是平面稳定渗流的基本方程。该方程表明渗流场内任一点的水头h都是坐标的函数。所以，平面稳定渗流场就是给定边界条件下的拉普拉斯方程的解。

2.3.2 二维流网绘制及应用

对式（2.21）、式（2.22）的求解方法大致有4种：电模拟法、数学解析法、数值解法和图解法，其中用得最多的是数值解法和图解法。下面主要介绍图解法，即通过绘制流网近似求得拉氏方程的解。对于成层地基和各向异性地基，图解法比较困难，一般需采用数值解法。

1.流网的基本特征及绘制

在稳定渗流场中，描述水质点流动的路线被称为流线，其上任一点的切线方向就是流速矢量的方向，势能或水头的等值曲线被称为等势线。流网是指由流线和等势线所组成的曲线正交网格，具有下述特征：

（1）流线与等势线正交。

（2）流线与等势线构成的每一个网格的长宽比l/b为常数，最常用的网格是l/b≈1.0。

（3）相邻等势线间的水头损失相等。

（4）各流槽的渗流量相等。

根据上述特征，流网绘制方法及步骤如图2.9所示。

（1）按一定比例绘出结构物和土层剖面，根据渗流场边界条件确定边界流线和边界等势线［图2.9（a）］。

（2）初绘若干条相互平行的流线，注意与进水面、出水面正交，并与不透水面接近平行［图2.9（b）］。

图2.9 流网绘制

（a）绘制结构物和土层；（b） 绘制流线；（c）绘制等势线；（d）流网调整

（3）根据流线与等势线正交、流线与等势线构成的网格长宽比为常数的要求按一定水头比例绘制等势线，注意各网格尽量近似为曲线正方形［图2.9（c）］。

（4）反复修改调整，直到满足流网基本特征［图2.9（d）］。

应指出的是，有些工程由于边界形状不规则，在边界突变处有时会难以保证流网网格一定是四边形，这时只要网格的平均长度和宽度大致相等，一般不会影响整个流网的精度。

2.流网的应用

图2.10是几种典型工程条件下的流网图。根据流网的分布规律，可以直观地获得所研究对象的渗流特性，并可定量求得渗流场中各点的水头损失、孔隙水压力、水力坡降、渗流速度和渗流量等。

图2.10 典型渗流问题流网图

（a）混凝土坝基下设钢板桩；（b）混凝土坝趾设置钢板桩和滤层；（c）钢板桩；（d）土坝

（1）水头损失。设渗流总水头差为ΔH，流网中每一个网格的长宽分别为ΔL、b，则根据流网特征，相邻等势线间的水头损失Δh为

Δh确定后即可确定求出任意点的测管水头。

（2）孔隙水压力。渗流场中某点孔隙水压力u等于该点测压管中水柱高度h_u与水的重度的乘积

同一等势线上各点具有相同的势能 （或水头），但孔隙水压力不相同。

（3）水力坡降。流网中任意网格的平均水力坡降为

式中：ΔL为计算网格处流线的平均长度。

上式表明流网中网格越密的地方水力坡降越大。

（4）渗流速度。根据达西定律和式（2.25）可确定渗流速度v=ki，方向为流线的切线方向。

（5）渗透流量。如图2.9（d）所示，每个流槽的渗流量Δq为

式中：A为网格的过流断面。当网格的ΔL/b=1时，总渗流量为

式中：N_f为流槽数，等于流线数减1。