地震激起水体表面波的壅高分析^>[1]

关于地震激起水体表面波的壅高公式，过去，国内外作者都是从势波理论（微波理论）出发，没有考虑坝体的弹性影响>^5］。本文从有限波高观点出发，同时考虑了坝体的弹性及地层转动运动的影响，分析了坝体相对位移及绝对位移所激起的壅高。文中用坝体相对转动近似地表示坝体弹性的影响，事实上，坝体在地震时引起的变位是非线性的，但我们仅从产生等效水波高度的角度出发，应用了相对地面转动的线性变位假定。另外认为水体是不可压缩的非黏性流动，地震动水压力对坝体位移影响较小（实际上最大不超过15%），不加考虑，在上述假定基础上，建立了以坝体运动作为动边界的流体运动的数学模型。关于地震引起的坝体位移作为动边界的已知数值，取自水工建筑抗震计算规范>^［6］中的地震惯性力资料。本文还认为对于不可压缩流体地震垂直运动所激起的壅高较小，可略去不计。

一、方程建立与求解

设有一个二维水体，位于一水平底面之上，一端有一个重力坝，地震使坝体产生振动，激起水体表面波壅高，而另一端延伸至无穷远。设水体自由面为ox轴，oz轴垂直向下，坝体迎水面的初始位置与oz轴相重合，水深为H，坝体在水面处相对地面的水平位移的振幅为A/2，地面水平位移的振幅为B/2，为了便于研究相对和绝对运动，设一参考轴（图1），p为压力，u、v分别为ox和oz轴方向的速度分量。

连续方程为：

运动方程为：

自由表面（z=-ζ₀）应满足条件：

式中：ζ₀为水面离静止水位升降的高度；p_a为水面的大气压力。

底部（z=H）需满足条件

在水体左端，地震使坝体产生简谐运动，把运动的绝对水平位移分成坝体结构相对底面水平位移和底面的水平位移两部分，其边界条件分别为：

（1）坝体结构相对地面转动时：

式中：σ=2π/T为圆频率；T为周期。

（2）地面水平位移时：

当x→∞时，波浪为向右传播的前进坡。

上述方程及边界条件是非线性的，求解比较困难。本文采用了一种“线性化”的近似方法，即在给定边界条件下将求解基本方程式（1）、式（2）写成下列形式：

把某种近似解代入式（7）的右边则得线性方程：

若解式（8）则需求式（8）相应齐次方程解（恰好是势流的解）再加式（8）的一个特解。

设水体无旋、不可压缩、存在速度势及力势，则方程式（8）的齐次方程及边界条件可简化成下列线性方程：

应用分离变量法便可求得式（9）的一般解。由于水的质点运动具有σ的振动角速度（圆频率），所以φ（x，z，t）将采取下列形式：

φ（x，z，t）=X（x）P（z）e^iσt

将上式代入式（9）的第一式中得：

因而

当k为实数时，则式（12）的解为：

据式（9）中第二式，可得：

式（15）是计算k值式子，k值可以由y₁=cthkH和y₂=kg/σ²两线交点而得出，因此只有一个根，令其为k₀，因此式（14）变为：

当k是虚数情况，令k=ik′，则式（12）解为P（z）=C₁e^ik′z+C₂e^-ik′z，k′tank′H=-σ²/g满足于上式，k′值是由y₁=cotk′H和y₂=-σ²/g满足的交点而定，所以有无穷多个根，令k′=k_n（n=±1，±2，…），由k_n=-k_-n故取正项，因此

k为实数时，解为：

k为虚数时，解为：

式（18）右边的第一项是向-x传播的波，式（19）右边的第一项当x→∞时发散，均舍去。

根据上述，得式（9）解：

由于当x→∞时为前进波的条件，所以将上式选定特解组合形式后，可得解：

式中：k₀为σ²=gkthkH的正根；k_n=（2n-1）π/2H，n=1，2，3，…；B′₀，B′_n为常数，由边界条件式（10）求得：

令

由于上式右端的第二项为三角函数，它在其区域（0，H）中是完备正交集，第一项是双曲函数，它在区域（0，H）中是不正交的，因此有^>[2]：

和

积分上两式，联立解之得：

其中

用同上的方法亦可求得方程式（9）及式（11）的解，形如式（20），但由于其边界条件差异，所以与该式中B′₀及B′_n有所不同，可表示为：

其中

定解式（20）是很复杂的形式，为了简化它作如下讨论：

式（20）中的k₀为σ²=gkthkH的正根。当（n-1）π&lt；k_nH&lt；nπ，因此对于所有n，k_nH&gt；π/2，x&gt；3时，式（20）中右端的第二项可以略去不计（-H）=0，因此式（20）中右端第二项仍是可以不计的。尽管式（20）中右端第二项可以去掉，但式（20）中计算仍然很复杂，为了进一步简化公式，我们对B′₀中的各级数进行了分析和计算，把式（21）及式（23）写成下列形式：

其中

令上两式中

采用已知的收敛级数的公项a_n与上列三个级数的公项b_n，c_n和d_n相比，显然级数是收敛的，而是绝对收敛的，考虑到级数的参数范围为：T=1-0.05（s），k₀=4-1608（m^-1），H=50-200（m），而用T=1（s），k₀=4（m^-1），H=200（m）计算各级数之和（相对其他参数，该参数的级数和为最大）为：

通过对式（25）和式（26）分析，得到下列两式极限：

将以上5式代入式（25）和式（26）即可得：

B₁=B′₀≈B₀₁；B₂=B′₀≈B₀₂

这样式（20）可变为：

式中：B′₀≈B₀₁同式（27）；B′₀≈B₀₂同式（28）。

根据波动表面方程ζ₀=-（1/g）［∂φ（x，0，t）/∂t］和拉格朗日方程（p-p）/r=-（1/g）×［（∂φ/∂t）+z］便可以求得下列一阶近似解的压力、波形、波高及波速。

二、波面的三阶近似解

前已述过将式（1）、式（2）写成式（7）的形式，同时在水面z=-ζ₀处应满足条件：

其他边界条件形式同前所述。把式（33）代入式（7）的右方后得：

考虑到上述方程的非齐次性，可得方程式（35）的一个特解为：

把式（36）中三式加入到一阶近似解中去，并取

便得到二阶近似解的各式：

再把式（28）代入式（34）的第一式并略去（h₁/2）⁴的各项不计得：

对上式积分得波面的三阶近似解>^［7］：

式中

和

式（41）是由坝体相对地面的水平位移产生的波浪高h₁（双振幅），而式（42）是由地面水平位移而产生的波浪高h′₁（双振幅）。以上所求得的近似解式（37）、式（38）及式（40）对自由表面条件及各边界条件的均为近似满足。

三、解的简化

地震激起水体表面波的壅高，一般在坝高和坝前水深都很大时，研究它才有意义。我们基于这种认识，对壅高公式进行了如下简化。

1.坝体结构对地面相对水平运动的情况

对式（41）右端的分子分母同时除以k₀Hch²k₀H得：

当水深H趋近无穷大（H≥50m）时，由式（43）得：

取k₀x-σt=0，并取cthk₀H=1，由式（40）即可得壅高简化公式：

式中

L=gT²/2π

从式（44）及式（45）可以看出，波面高、低主要决定于坝体在迎水面的自由面处的相对位移的最大双振幅A，关于A的求解下节将详细论述。由于地震周期一般在0.05～1.0s之间，因此坝体迎水面处波能集中，表面水波在此处集中，超过极限（h₁/L=10）产生破碎，此处得到的ζ₀和摆线相同>^［7］，式中尚需考虑波浪中心线离静止水面超高（h₁/2）²π/2，因此据上述式（45）可化为：

2.地面水平运动情况

对式（42）右端的分子及分母同时除以ch²k₀H得：

当水深H趋近无穷大时，式（47）简化为：

将式（48）代入式（40）并取cthk₀H=1及k₀x-σt=0后得：

同前所述式（49）可化为：

四、坝体相对位移

大家知道，影响水面壅高的主要因素之一是地震使坝体产生的相对位移，而坝体相对位移的推求又是一个极为复杂的计算问题.为了简化和解决这个问题，采用了我国发布的水工建筑物抗震设计规范中的地震惯性力资料>^［6］，根据这个资料并利用反应谱概念得了坝体相对位移的最大振幅，从而建立了地震烈度、坝体相对位移最大幅值和水面壅高之间关系，据文献［9］中最大绝对加速谱s_a与最大相对位移谱s_d关系为

式中：T为地面位移最大振幅时相应的周期；σ=2π/T=ω为圆频率。

根据上式及规范的惯性力资料得：

式中：k_H是水平位移振幅的等效系数，其值范围为0.5～0.75，采用0.75，由设计烈度选定，见表1>^［6］；地震水平位移分布参数Δ_iH由表2选定。

五、实例计算与比较

1.坝体相对位移产生壅高

根据震害的调查资料>^［10］，见表3，对日本的“三面”重力坝及抗震工程学>^［11］中由著者岡本舜山的一个实例进行了计算，见表4。

从表3及表4中的壅高数据可以看出，计算壅高与实例壅高是相近的。

2.地层转动而引起坝体绝对位移产生的壅高

根据文献［5］中式（5.6）及本文中式（46）进行计算比较，但此时，式（46）中A应理解为绝对位移，以A′表示之，计算结果见表5。

3.地层平移、转动时作用于坝体而引起绝对位移产生的壅高

根据本文中式（46）和式（50）进行计算，同样此时A及B应理解为绝对位移以A′及B′表示之，计算结果见表6。

上述三种情况，客观实际上均可发生。通过上面的计算，我们可以看出，结果与实例是接近的，同时通过部分公式的比较，证明结果也是合理的。

本文得到林秉南、肖天铎两同志的热情帮助，特此致谢。

Analysis of Run up Height of Surface Waves in Liquid Body Excited by Seismological Effect

Abstract

参考文献

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>［5］陈振诚.地面波动所激起而作用于水坝上的流体动压力.中国科学，1975（6）.

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>［8］Ursell，F.，Dean，R.G.，Yu，Y.S..Forced smallampitude water waves，a comparison of theory and experiment，Journal of Fluid Mechanics，1960（7）：33-52.

［9］大崎順彦著，吕敏申、谢礼立译.地震动的谱分析入门.北京：地震出版社，1980：222-228.

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