4.1 傅里叶变换和频域增强
傅里叶变换（FT）是一种将图像空间和频率空间联系起来的变换。
4.1.1 傅里叶变换
本书主要讨论2D图像，这里直接考虑2D傅里叶变换。对于一幅2D图像f(x, y)，其2D傅里叶变换F(u, v)为
而F(u, v)的傅里叶反变换为f(x, y)：
f(x, y)一般是实函数，但对应的F(u, v)常是复函数，可以写成
其中，R(u, v)和I(u, v)分别为F(u, v)的实部和虚部。进一步可定义2D傅里叶变换的频谱、相位角和功率谱：
例4-1 图像函数和傅里叶频谱的显示
图4-1(a)所示为一个简单的2D图像函数的透视图，这里有Z=f(x, y)，这个函数在以原点为中心的一个正方台内为正值常数，而在其他地方为0；图4-1(b)给出图4-1(a)中函数的灰度图（这里是二值图）显示；图4-1(c)给出傅里叶频谱幅度的灰度图显示。
图4-1 一个简单2D图像函数和它的傅里叶频谱显示
例4-2 实际图像和傅里叶频谱
两幅实际图像及其对应的傅里叶频谱如图4-2所示。图4-2(a)中的实际图像反差较小、比较柔和，反映在傅里叶频谱上表现为低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）；图4-2(b)中的实际图像中有些较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上表现为有比较明显的射线状条带。
图4-2 两幅实际图像及其对应的傅里叶频谱
4.1.2 傅里叶变换特性
参照式（4-1）和式（4-2），
和
分别是傅里叶变换和反变换的核，傅里叶变换有许多特性都是由其核决定的。
在进行2D傅里叶变换时，可以利用其可分离性和对称性来简化计算。
2D傅里叶变换的可分离性是指其变换核中的两对变量，即x和u与y和v可以分离。这说明一个2D傅里叶变换核可以分解为两个1D傅里叶变换核。傅里叶变换核和傅里叶反变换核的分解可表示成
2D傅里叶变换的对称性是指傅里叶变换核和傅里叶反变换核分离后的两部分具有相同的形式，这点从式（4-7）和式（4-8）也很容易看出。因为2D傅里叶变换的正反变换核都具有可分离性和对称性，所以傅里叶变换是一种可分离和对称的变换。
具有可分离变换核的2D变换可分成两个步骤，每个步骤为一个1D变换。这里以2D傅里叶变换为例，参见图4-3。
图4-3 利用两步1D变换计算2D变换
先将式（4-7）代入式（4-1），首先沿f(x, y)的每一列进行1D变换得到
然后沿G(x, v)的每一行进行1D变换得到
这样，在计算一个2D傅里叶变换时，只需计算两次1D傅里叶变换。因为直接进行一个N×N的2D傅里叶变换需要N4次复数乘法运算和N2(N2-1)次复数加法运算，而进行一个长度为N的1D傅里叶变换只需进行N2次复数乘法运算和N(N-1)次复数加法运算，所以将一个2D傅里叶变换转换为两个1D傅里叶变换可以大大减少计算量。
4.1.3 频域增强
傅里叶变换中有一个重要定理——卷积定理，它是频域增强的基础。设函数f(x, y)与线性位移不变算子h(x, y)的卷积结果是g(x, y)，即g(x, y)=h(x, y)⊗f(x, y)，那么根据卷积定理，在频域有
其中，G(u, v)、H(u, v)、F(u, v)分别是g(x, y)、h(x, y)、f(x, y)的傅里叶变换。从线性系统理论的角度来说，H(u, v)是转移函数。可见，选择不同的H(u,?v)相当于在空域中选择不同的模板，在频域通过乘法运算也可以实现滤波增强。
在具体的增强应用中，f(x, y)是给定的，所以F(u, v)可利用变换得到，需要确定的是H(u, v)，这样具有所需特性的g(x, y)就可通过对由式（4-11）算出的G(u, v)进行傅里叶反变换得到：
根据以上讨论，在频域中进行图像增强的效果是相当直观的，其主要步骤如下。
（1）计算需要增强的图像的傅里叶变换。
（2）将其与一个转移函数（根据需要设计）相乘。
（3）将结果进行傅里叶反变换以得到增强的图像。
频域增强的基本原理是让图像在某个频域范围内的分量受到抑制而保证其他分量不受影响，从而改变输出图像的频率分布，达到图像增强的目的。例如，图像中的边缘和噪声都对应傅里叶变换后频谱中的高频分量，所以根据式（4-11），需要选择一个合适的H(u, v)以得到能削弱F(u, v)中高频分量的G(u, v)。又如，图像中的模糊部分对应傅里叶变换后频谱中的低频分量，所以根据式（4-11），需要选择一个合适的H(u, v)以得到能削弱F(u, v)中低频分量的G(u, v)。