2.1 数学建模

研究AMV的运动，首先建立AMV运动坐标系，坐标系一般选用惯性坐标系{E}（即O_EX_EY_EZ_E）及固定于航行器质心的附体坐标系{B}（即O_bX_bY_bZ_b）。坐标系和符号的定义如图2-1和表2-1所示。对于海洋航行器的运动，一般需要6个独立的自由度来描述航行器的位置和姿态，即随着附体坐标系中3个坐标轴移动和转动运动。移动运动（即位置）包括纵荡x、横荡y和垂荡z，以前进速度u、横漂速度v及垂荡速度ω表示沿x、y、z轴的速度、转动运动（即姿态）包括横摇φ、纵摇θ、艏摇ψ，以横摇角速度p、纵摇角速度q及艏摇角速度r表示航行器的姿态及沿x、y、z轴的旋转角速度。在惯性坐标系{E}中，O_E为坐标系的原点，可取海平面或地面上任一点，O_EZ_E指向地心，O_EX_E及O_EY_E位于水平面，且互相垂直；在附体坐标系{B}中，O_b一般选取航行器的质心，O_bX_b为纵轴指向航行器的前进方向，O_bY_b为横轴指向航行器的侧推方向，O_bZ_b为垂向轴指向航行器的下沉方向。

2.1.1 AMV水平面运动数学模型

忽略垂向、横摇和纵摇运动，AMV水平面运动数学模型为^[73,83-85]

其中，η=[x，y，ψ]^T∈R³，表示惯性坐标系{E}下AMV的位置及航向角；υ=[u，v，r]^T∈R³为AMV在附体坐标系{B}下的速度向量；τ=[τ_u，τ_v，τ_r]^T∈R³为控制输入，其中，τ_u为前进控制，τ_v为横移控制力，τ_r为艏摇控制力矩；τ_w=[τ_wu，τ_wv，τ_wr]^T∈R³表示在附体坐标系{B}下由风、浪、流引起的环境干扰；R（ψ）为旋转矩阵且具有R^-1（ψ）=R^T（ψ）；M=M^T∈R^3×3＞0为包括附加质量的非奇异对称正定惯性矩阵；C（υ）∈R^3×3为科里奥利及向心力矩阵；D（υ）∈R^3×3为水动力阻尼矩阵。它们具体形式分别为

上述矩阵中

其中，m为AMV质量；X_u，X_|u|u，Y_v，Y_|v|v，Y_|r|v，Y_r，Y_|v|r，Y_|r|r，，N_v，N_v|v|，N_|r|v，N_r，N_|r|r及N_|v|r是线性二次阻力系数；为附加质量；x_g为X轴上重心远离中心距离；I_z为垂直轴的转动惯量。

惯性矩阵M中含有非对角线项m₂₃，这是由于AMV顶端与尾端不对称导致。由于m₂₃的存在可以看出横漂动态受艏摇转矩的影响^[86]。

2.1.2 AMV三维运动数学模型

固定姿态下AMV三维运动数学模型为^[80,87]

其中，p=[x，y，z]^T∈R³为位置矢量；Θ=[φ，θ，ψ]^T∈R³为姿态矢量；υ=[u，v，ω]^T∈R³为速度矢量；τ=[τ_u，τ_v，τ_ω]^T∈R³为控制输入；τ_w=[τ_wu，τ_wv，τ_wω]^T∈R³为由风、浪、流引起的环境干扰。M、D（υ）和g（Θ）分别为惯性矩阵、阻尼矩阵及恢复力矢量，具体形式如下：

为了描述简单，令s_a=sina，c_a=cosa。J（Θ）为