3.4 变周期方法

上一节给出分数幂控制结构，以保证系统收敛速度。虽可得到连续控制律，但光滑性难以保证。

传统周期控制方法通过引入时变项cost或sint，为状态ϑ₂的稳定提供持续激励，但该方法不能保证状态ϑ₂在原点附近的收敛速度。为此，本节引入变周期方法，通过引入与状态相关的周期频率改善提高系统收敛速度。

引理3.3：存在如下光滑控制律

可保证系统式（3-8b）全局渐近稳定，其中，κ₁＞0、κ₂＞0

此处，α＞0、β＞0、λ≠0为待选参数。

证明：为清晰阐述结论，本节将引理3.3的证明分为光滑性与稳定性两部分。

首先，证明控制律式（3-54）光滑，即T（t）光滑。定义

则函数T（t）可描述为如下形式：

状态ϑ₂连续，因此f（t）连续，可得T（t）连续，即ϖ₁和ϖ₂连续，据系统式（3-8b）可知，和连续。对函数T（t）求导可得

其中，为f（t）的导数，可表述为，因连续，可知连续，即和连续，对系统式（3-8b）中各状态求导，可得和连续。对函数求导可得

其中，可表述为

因连续，可知连续，即和连续，继而得出和连续。以此类推可知ϖ₁和ϖ₂无穷阶可导，控制律式（3-54）的光滑性证明完毕。

接下来，证明闭环系统的稳定性。将控制律式（3-54）代入系统式（3-8b）可得如下结论：

定义如下李亚普诺夫函数

对其求导，据式（3-61）可得

式（3-63）说明V₃单调递减且有界，所以V₃存在极小值，且状态ϑ₂、ϑ₃和ϑ₆有界，又因为系统式（3-61）中，状态ϑ₅的动态特性满足，且T（t）有界，可得状态ϑ₅有界。因此，状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅和ϑ₆有界。对式（3-63）左右两边同时求导，可得

因状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅和ϑ₆有界，可得连续且有界。因此一致连续，据引理2.8

结合式（3-63）和式（3-65）可得

又因闭环系统式（3-61）中，ϑ₆的动态特性满足

因此连续，对求导

结合ϑ₂、ϑ₅和ϑ₆有界的结论，式（3-68）说明连续且有界，因此一致连续，根据引理2.8可得

据式（3-66）可知，结合式（3-69）

又因ϑ₂ϑ₅+ϑ₃的导数为。可得连续，等式两边同时求导可得如下结论

据前文可知，状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅、ϑ₆、T（t）、和连续有界，因此d²（ϑ₂ϑ₅+ϑ₃）/dt²连续有界，因此一致连续，根据引理2.8，可得

因，且状态ϑ₅有界，式（3-72）说明

对式（3-73）两边同时求导可得

因此连续。再对式（3-74）两边求导

据前文推导结果可知，状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅、ϑ₆、T（t）、、和连续有界，因此连续有界。则一致连续，据引理2.8

即

因为，且状态ϑ₂和ϑ₅有界，且据式（3-77）可知

所以，式（3-78）说明

即

据式（3-80）可得

因此对于系统式（3-8b），控制律式（3-54）可使状态全局渐近收敛。此外，在闭环系统式（3-61）中，状态ϑ₅动态特性为，状态ϑ₂全局渐近收敛，则必有。根据闭环系统式（3-61）可知

因为，可得。综上所述，状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅和ϑ₆全局渐近收敛到0，引理3.3证明完毕。

附注3.3：闭环系统式（3-61）中，状态ϑ₅为状态ϑ₂收敛提供持续激励。由于，随着状态ϑ₂收敛到0，状态ϑ₅提供的激励逐渐降低。状态ϑ₂越靠近原点，该问题越明显，为此本节提出变周期控制方法。其特点为：函数T（t）频率因状态ϑ₂收敛而增加，并满足。当ϑ₂收敛到原点附近邻域时，函数T（t）的频率主要由参数β和λ决定，取值越大，函数T（t）频率越大。幅值不变的情况下，函数T（t）频率越大，状态ϑ₅为ϑ₂提供的激励越大，状态ϑ₂收敛越快。相反，当|ϑ₂|较大时，系统频率受β和|ϑ₂|共同影响，T（t）频率较小，以此减小执行器的负担。和参考文献[46]中的方法相比，本节引入变周期时变项T（t）代替cost，通过实时调整周期频率解决状态ϑ₂在原点附近收敛缓慢的问题。和参考文献[46]相比，本节方法避免使用反步法，结构更简单。

定理3.3：存在光滑控制律如下：

可保证系统式（3-8）全局渐近稳定，其中

此处，α＞0、β＞0、κ₁＞0、κ₂＞0、λ≠0是待选参数。

证明：由引理3.3可知，控制律式（3-54）使系统式（3-8b）全局渐近稳定。结合引理3.1与引理3.2可知，控制律式（3-54）可保证系统式（3-1）全局渐近稳定。同时考虑输入变换，计算可得，控制律式（3-83）可保证系统式（3-1）全局渐近稳定。定理3.3证明完毕，由于空间和篇幅有限，不再赘述。