第二节　单因素实验设计

单因素实验设计有黄金分割法（0.618法）、对分法、分数法、分批实验法等。黄金分割法、对分法和分数法能通过较少的实验次数快速找到最佳点，适用于一次只能出一个结果的实验。其中对分法效果最好，每做一个实验就能去掉实验范围的一半；分数法应用范围较广，可以用于实验点数只能取整数或某特定数，以及限制实验次数和精确度的情况。分批实验法适用于一次能同时得出多个结果的实验。下面分别介绍对分法、分数法和分批实验法。

1.对分法

采用对分法时，首先要根据经验确定实验范围。假设实验范围在a～b之间，第一个实验点确定为a、b的中间点x₁[x₁=（a+b）/2]。如果实验结果表明x₁值取大了，则去掉大于x₁的一半，第二个实验点确定为a、x₁的中间点x₂[x₂=（a+x₁）/2]。如果第一个实验结果表明x1值取小了，则去掉小于x₁的一半，第二个实验点确定为x₁、b的中间点。这种方法的优点是每进行一次实验就可以去掉一半，并且取点方便，适用于事先已经了解所考察因素对实验指标的影响规律，能从一个实验结果直接判断出该因素的值是大了还是小了的情况。例如，混凝实验的药剂投加量的确定，就可以采用对分法。

2.分数法

分数法又叫菲波那契数列法，是利用菲波那契数列进行单因素优化实验设计的一种方法。当实验点只能取整数或限制实验次数时，采用分数法进行实验设计较好。例如，只能进行一次实验时，实验点取在1/2处，其精确为1/2，即实验点与实际最佳点的最大可能距离为1/2。如果只能进行两次实验时，第一个实验点取在2/3处，第二个实验点取在1/3处，其精确度为1/3。如果只能进行三次实验时，第一个实验点取在3/5处，第二个实验点取在2/5处，第三个实验点取在1/5或4/5处，其精确度为1/5。做几次实验就在实验范围内F_n/F_n+1处做，其精确度为1/F_n+1。表1-1为分数法实验点位置与精确度。

表1-1中的F_n、F_n+1称为“菲波那契数”，递推式如下：

所以，F₂=F₁+F₀=2，F₃=F₂+F₁，F₄=F₃+F₂=5…F_n+1=F_n+F_n-1…

表1-1第三行中的各分数，从2/3开始以后的每一分数，分子都是前一分数的分母，分母是前一分数分子与分母的和，按照此方法就可以确定第一个实验点的位置。

分数法各实验点的位置可由下列公式求出：

第一个实验点=（大数-小数）×F_n/F_n+1+小数　（1-1）

新实验点=（大数-中数）+小数　（1-2）

式中　大数——实验范围的最大值；

　中数——已经进行了的实验点；

　小数——实验范围的最小值。

下面以具体实例说明分数法的应用。

某污水厂准备投加FeCl₃来改善污泥的脱水性能，根据初步调查，投药量在0～160mg/L，要求通过4次实验确定最佳投药量。

根据公式（1-1）可以得到第一个实验点的位置

（160-0）×5/8+0=100（mg/L）

根据公式（1-2）可以得到第二个实验点的位置

（160-100）+0=60（mg/L）

假定第一个实验点比第二个实验点好，去掉0～60mg/L的一段，在60～160mg/L之间找第三个实验点，即

（160-100）+60=120（mg/L）

如果第三个实验点比第一个实验点好，则去掉60～100mg/L的一段，在100～160mg/L间找第四个实验点，即

（160-120）+100=140（mg/L）

如果第三个实验点结果比第四个实验点好，即在FeCl3的投药量为120mg/L时，污泥脱水效果最好。

3.分批实验法

当完成实验需要较长的时间，或者测试分析需要较高的费用，而每次同时测试几个样品和测试一个样品所花的时间、人力和费用相近时，采用分批实验法较好。分批实验法又分为均匀分批实验法和比例分割实验法。这里仅介绍均匀分批实验法。这种方法是每批实验均安排在实验范围内。例如，每批要做4个实验，可以先将实验范围（a～b）均分为5份，在其4个分点x₁、x₂、x₃、x₄处做4个实验。将4个实验样品同时进行测试分析，如果x₃好，则去掉小于x₂和大于x₄的部分，留下x₂～x₄范围。然后将留下部分再分成6份，在未做过实验的4个分点进行实验，这样一直做下去，就能找到最佳点。用这种方法，第一批实验后范围缩小2/5，以后每批实验后都能缩小为前次余下的1/3。例如，测定某种毒物进入生化处理构筑物的最大允许浓度可用此方法。