3.1 正弦交流电的基本概念

1.正弦交流电

一个直流理想电压源U_S作用于线性电路时，电路中的电压U和电流I都不随时间变化，称为直流电量。如果一个正弦交流电压源U_s作用于线性电路，则电路中的电压u和电流i也将随时间按正弦规律变化。这种随时间按正弦规律周期性变化的电压和电流称为正弦电量。随时间按正弦规律变化的交流电称为正弦交流电。

2.正弦量的三要素

正弦量的特征表现在其变化的快慢、大小及初始值3个方面，而它们分别由频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为正弦量的三要素。

下面以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某电路中正弦电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为

正弦电流波形图如图3-1所示。

（1）频率与周期

正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T，如图3-1所示。每秒变化的次数为频率f，它的单位是赫兹（Hz）。

频率和周期互为倒数，即

在我国和大多数国家都采用50Hz（有些国家如美国、日本等采用60Hz）作为电力标准频率。这种频率在工业上应用广泛，习惯上称为工频。常用的交流电动机和照明负载都用这种频率。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率来表示，它的单位是弧度每秒（rad/s）。角频率是指交流电在1s内变化的电角度。正弦量每经过一个周期T，对应的角度变化了2π弧度，所以

（2）瞬时值、最大值和有效值

正弦交流电随时间按正弦规律变化，某时刻的数值和其他时刻的数值不一定相同。把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值，用小写字母表示，如i、u、e分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值有正有负，也可能为零。

最大的瞬时值称为最大值（也称为幅值、峰值），用带下标“m”的大写字母表示。如I_m、U_m、E_m分别表示电流、电压及电动势的最大值。最大值虽然有正有负，但习惯上最大值都以绝对值表示。

正弦电流、电压和电动势的大小常用有效值来表示。为了便于区分，用大写字母I、U、E分别表示电流、电压及电动势的有效值。

有效值是根据电流的热效应定义的，即某一交流电流i与另一直流电流I在相同时间内通过一只相同电阻R时，所产生的热量如果相等，那么这个直流电流I的数值就定义为交流电的电流的有效值。

设交流电流在一个周期内通过某一电阻R所产生的热量为

某一直流电I在相同时间内通过同一电阻R所产生的热量为

Q_DC=I²RT

若两者相等，则

由上式得

这就是交流电的有效值。

由此可知，交流电的有效值就是它的方均根值。

设i=I_msintω代入式（3-4）得

同理，交流电压的有效值

交流电电动势的有效值

由此可见，交流电的有效值是它最大值的0.707倍。

通常所讲的交流电压或电流的大小（如交流电压220V）就是指它的有效值。交流电机和电器的铭牌上所标的额定电压和额定电流都是指有效值，一般的交流电压表和电流表的读数也是指有效值。

【例3-1】已知u=U_msintω，式中U_m=310V，f=50Hz。求电压有效值U和t=0.1s时的瞬时值。

解：由电压最大值和有效值的关系得

u=U_msinωt=310sin 2π×50×0.1=0

（3）初相位

交流电是时间的函数，在不同的时刻有不同的值。由正弦交流电的一般表达式（以电流为例）i=I_msin（ωt+φ）可知，在不同的时刻（ωt+φ）也不同，（ωt+φ）代表了正弦交流电变化的进程，称为相位角，简称为相位。

t=0时的相位角称为初相位角，简称为初相位。式（3-1）中的φ就是这个电流的初相角。规定初相角的绝对值不能超过π。

由式（3-1）及波形图可以看出，正弦量的最大值（有效值）反映正弦量的大小，角频率（频率、周期）反映正弦量变化的快慢，初相位角反映正弦量的初始位置。因此，当正弦交流电的最大值（有效值）、角频率（频率、周期）和初相位角确定时，正弦交流电才能被确定。也就是说这三个量是正弦交流电必不可少的要素，所以称其为正弦交流电的三要素。

【例3-2】某正弦电压的最大值U_m=310V，初相位φ_u=30°；某正弦电流的最大值I_m=28.2A，初相位_iφ=-60°。它们的频率均为50Hz，试分别写出电压、电流的瞬时值表达式并画出波形图。

解：电压瞬时值表达式为

u=U_msin(ωt+φ_u)

=310sin(2πft+φ_u)

=310sin(314t+30 )°

电流瞬时值表达式为

i=I_msin(ωt+φ_i)

=28.2sin(314t-60°)

电压、电流的波形图如图3-2所示。

【例3-3】某交流电压u=310sin(314t+30 )°V，试写出它的最大值、角频率和初相位，并求有效值和t=0.1s时的瞬时值。

解：由u=310sin(314t+30 )°V得

U_m=310V，ω=314rad/s，φ=30°

U=0.707U_m=0.707×310V≈220V

u=310sin（314×0.1+30°）

=310sin（10π+30°）

=155V

（4）相位差

在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但初相位不一定相同，如图3-3所示。图中u和i的波形可表示为

u=U_msin(ωt+φ_u)

i=I_msin(ωt+φ_i)

它们的初相位分别为φ_u和φ_i。

两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之差，称为相位差，用φ表示。图3-3中电压u和电流i的相位差为

由图3-3的正弦波形可见，因为u和i的初相位不同，所以它们的变化步调不一致，即不是同时到达正的幅值或零值。图中，φ_u＞φ_i，所以u较i先到达正的幅值。这时

φ=φ_u-φ_i＞0

说明在相位上u比i超前φ角，或者说i比u滞后φ角。

同理，φ=φ_u-φ_i＜0，说明在相位上u比i滞后φ角，或者说i比u超前φ角。

φ=φ_u-φ_i=0，说明u和i同相位或称同相，u和i同相位如图3-4所示。φ=φ_u-_iφ=±π，说明u和i相位相反或称反相，u和i反相位如图3-5所示。

当两个同频率的正弦交流电计时起点（t=0）改变时，它们的相位和初相位也随之变化，但是两者的相位差始终不变。在分析计算时，一般也只需考虑它们的相位差，并不在意它们各自的初相位。为了简单起见，可令其中一个正弦量为参考正弦量，即把计时起点选在使得这个正弦量的初相位为零，其他正弦量的初相位则可由它们与参考正弦量的相位差推出。

如例3-2中所表达的u和i，当选i为参考量，即令i的初相位φ_i=0，则u的初相位为φ_u=90°-0°=90°，这时电流电压的表达式分别为

i=28.2sinωt

u=310sin(ωt+90 )°

当选取u为参考正弦量时，即令u的初相位φ_u=0，则i的初相位φ_i=-90°-0°=-90°，这时电流和电压的表达式分别为

u=310sinωt

i=28.2sin(ωt-90 )°

思考与练习

1.已知u₁=310sin(314t+30 )°V，u₂=380sin(314t-60 )°V，试写出它们的最大值、有效值、相位、初相位、角频率、频率、周期及两正弦量的相位差，并说明哪个量超前。

2.已知某正弦电压的最大值为310V，频率为50Hz，初相位为45°，试写出函数式，并画出波形图。