3.2 正弦交流电的相量表示法

一个正弦量可以用三角函数形式表示，也可以用波形图表示。但在分析和计算交流电路时，经常遇到同频率正弦量的加、减运算，而直接应用三角函数式或波形来运算却很麻烦。因此，有必要寻找使正弦量运算更简便的方法。下面介绍的正弦量相量表示法将为分析、计算正弦交流电路带来极大方便。

3.2.1 正弦量的旋转矢量表示

设有一正弦量i=I_msin(ωt+φ)，它可以用一个旋转矢量来表示。在直角坐标系中作一有向线段，其长度等于该正弦量的最大值I_m，矢量与横轴正向的夹角等于正弦量的初相角φ，该矢量逆时针方向旋转，其旋转的角速度等于该正弦量的角频率ω。那么这个旋转矢量任一瞬时在纵轴上的投影，就是该正弦函数i在该瞬时的数值正弦量用旋转矢量表示如图3-6所示。

当ωt=0时，矢量在纵轴上的投影为i₀=I_msinφ；当ωt=ωt₁时，矢量在纵轴上的投影为i₁=I_msin(ωt+φ₁)，如此等等。这个旋转矢量具备了正弦量的三要素，说明正弦量可以用一个旋转矢量来表示。

对于一个正弦量可以找到一个与其对应的旋转矢量，反之一个旋转矢量也都有一个对应的正弦量，他们之间有着一一对应关系。但正弦量和旋转矢量不是相等关系，正弦量是时间的函数，而旋转矢量则不是，因而不能说旋转矢量就是正弦量。

3.2.2 复数及复数的运算

1.复数

直角坐标系如图3-7所示，以横轴为实轴，单位为+1，纵轴为虚轴，单位为+j。称为虚数单位（数学中虚数单位用i表示，而电路中i已用来表示电流，为避免混淆而改用j）。

实轴和虚轴构成的平面称为复平面。复平面上任何一点对应一个复数，同样一个复数对应复平面上的一个点。复数的一般式为

式中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，式（3-9）称为复数的直角坐标式，又称复数的代数表达式。

复数也可以用复平面上的有向线段来表示，如图3-7中的有向线段A，它的长度r称为复数的模，它与实轴之间的夹角φ称为复数辐角，它在实轴和虚轴上的投影分别为复数的实部a和虚部b。由图可得

a=r cosφ

b=rsinφ

因此，式又可写成

此式称为复数的三角式。

根据欧拉公式

e ^jφ=cosφ+jsinφ

复数A还可写成指数形式，即

为了简便，工程上又常写成极坐标形式

2.复数的运算

1）复数的加减。进行复数相加（或相减），要先把复数化为代数形式。

设有两个复数

A₁=a₁+jb₁

A₂=a₂+jb₂

则有

即复数的加减运算就是把它们的实部和虚部分别相加减。

2）复数的乘除。复数的乘除运算，一般采用指数形式或极坐标形式。

设有两个复数

即复数相乘时，将模相乘，指数相加或辐角相加；复数相除时，将模相除，指数相减或辐角相减。

3）旋转因子。

复数的模等于1、辐角等于φ。任意复数乘以e ^jφ得

即复数的模不变，辐角变化了φ，此时复数向量按逆时针方向旋转了角。所以称e^jφ为旋转因子。

使用最多的旋转因子是e ^j90°=j和e^-j90°=-j。任何一个复数乘以j（或除以j），相当于将该复数向量按逆时针（顺时针）旋转90°。而乘以-j（或除以-j）相当于将该复数向量按顺时针（逆时针）旋转90°。

3.2.3 正弦量的相量表示法

1.正弦量的相量

由上所述，正弦量可以用矢量表示，矢量又可以用复数表示，因而，正弦量必然可以用复数表示。用复数表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法。

在直角坐标中绕原点不断旋转的矢量可以表示正弦交流电。用旋转矢量的长度表示正弦量的最大值；旋转矢量的旋转角速度表示正弦量的角频率；用旋转矢量的初始位置与横轴的夹角表示正弦量的初相位。通常规定，按逆时针方向而成的角度为正值。旋转矢量用最大值符号U_m或I_m表示。

为了和一般的复数相区别，规定用大写字母上面加黑点“·”表示。

例如，正弦电流i=I_msin（ωt+φ）的相量表示为

称为最大值相量。

正弦交流电的大小通常用有效值来计量，通常使相量的模等于正弦量的有效值，这样正弦电流i=I_msin（ωt+φ）可表示为

称为有效值相量，电流的有效值相量如图3-8所示。

【例3-4】已知交流电压，，试写出它们的相量式。

解：，

【例3-5】已知电压相量，电流相量，它们的角频率 ω=314rad/s。试写出它们对应的解析式。

解：，

2.相量图

研究多个同频率正弦交流电的关系时，可按各正弦量的大小和初相，用矢量画在同一坐标的复平面上，称为相量图。图3-2所示的电流和电压两正弦量波形图可用图3-9所示相量图表示。

作相量图时要注意：

1）只有同频率的正弦量才能画在一个相量图上，不同频率的正弦量不能画在一个相量图上，否则无法比较和计算。

2）在同一相量图上，相同单位的相量，要用相同的尺寸比例绘制。

3）作相量图时，可以取最大值，也可用有效值画出。因为有效值已被广泛使用，有效值的相量用大写字母表示。画有效值相量图时，相量的长度等于有效值。

4）正弦交流电用相量表示以后，对于同频率正弦量的加、减运算就可以按矢量的加、减运算法则进行，也可以用矢量合成的平行四边形法则进行。

思考与练习

1.正弦电压分别为，，并写出u的瞬时值表达式。

2.同频率的正弦电流i₁、i₂的有效值分别为30A、40A。问：

1）当i₁、i₂的相位差为多少时，i₁+i₂的有效值为70A？

2）当i₁、i₂的相位差为多少时，i₁+i₂的有效值为10A？

3）当i₁、i₂的相位差为90°时，i₁+i₂的有效值为多少？