3.3 正弦交流电路的分析与计算

电阻元件、电感元件与电容元件都是组成电路模型的理想元件。所谓理想元件就是突出元件的主要电磁性质，而忽略其次要因素。如电阻元件具有消耗电能的性质（电阻性），其他的电磁性质如电感性、电容性等忽略不计。同样，对电感元件，突出其通过电流要产生磁场而储存磁场能量的性质（电感性），对电容元件，突出其加上电压要产生电场而储存电场能量的性质（电容性）。电路的参数不同，其性质就不同，其中能量的转换关系也不同。

3.3.1 单一参数的正弦交流电路

1.纯电阻电路

在交流电路中，电阻起主要作用，电感L和电容C均可忽略不计的电路称为纯电阻电路。白炽灯、电炉和电暖器等都可认为是纯电阻电路。

（1）电压与电流的关系

图3-10所示为一电阻元件的交流电路，由于元件为线性元件，电路中电压和电流在图示正方向下服从欧姆定律，即

u=iR

为了分析方便，假设电流i的初相位等于零，则

并以此为参考相量，故

式（3-19）说明，电阻元件上的电压也按正弦规律变化，它的最大值与电流的最大值成正比，频率和初相角均与电流相同，其波形如图3-12所示。

对于正弦交流电路中的电阻电路（又称为纯电阻电路），一般结论如下：

1）电压、电流均为同频率的正弦量。

2）电压与电流初相位相同，即两者同相。

3）电压与电流的有效值成正比。

U_m=I_mR

U=IR

上述结论可用相量形式表示为

式（3-20）是电阻元件欧姆定律的相量形式，电阻电路相量图如图3-11所示。

（2）功率关系

在任一瞬间，电压的瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用小写字母p表示，即

由式（3-21）可知，瞬时功率由两部分组成，第一部分是常量UI，第二部分是幅值为UI并以角频率为2ω随时间而变化的交变量UIcos 2ωt。p随时间而变化的波形如图3-12b所示。

在电阻交流电路中，由于u与i是同相位的，所以瞬时功率总是正的，这表明具有电阻元件的交流电路总是从电源取用电能，它在一个周期内取用的电能为

这相当于在图3-12b中，功率波形与横轴所包围的那块面积。

通常衡量元件消耗的功率，可取瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率或有功功率，用大写字母P来表示。那么，在电阻元件上消耗的平均功率为

可见，有功功率不随时间变化，这与直流电路中计算电阻元件的功率在形式上是一样的。式（3-22）中的U和I分别表示正弦电压、电流的有效值。

【例3-6】电路中电阻R=2Ω，正弦电压u=10sin(314t-60°)V，试求通过电阻的电流的相量。

解：电压相量为

电流的相量为

2.纯电感电路

在图3-13所示的交流电路中，线圈的电阻忽略不计，这种电路可称为纯电感电路。

（1）电压与电流的关系

图3-13所示的电路中，线性电感元件中的自感电动势为

设流入的交流电流为

i=I_msinωt

根据KVL得

式（3-23）说明，电感电压也是正弦量，且与电流同频率，但在相位上电压超前电流90°。在大小关系上

U_m=I_mωL

由上式可知，当ω一定时，电感两端的电压有效值正比于电流。当ω=0时，电感电压恒为零，即电感元件在直流电路中相当于短路；当ω趋于∞时，电感元件的作用相当于开路元件。

由上述讨论，可得出关于电感元件的一般结论：

1）电感元件中的电压和电流均为同频率的正弦量。

2）电感元件的电压超前于电流90°，波形如图3-14a所示。

3）电压与电流的有效值关系为

令

X_L=ωL=2πfL

则

从式（3-25）可知，电压一定时，X_L越大，电流越小。可见X_L具有阻碍电流的性质，所以称X_L为电感电抗，简称为感抗。

当ω的单位用弧度/秒（rad/s）、L的单位用亨利（H）（简称为亨）时，X_L的单位为欧姆（Ω）（简称为欧）。

若用相量形式来表示，则

式（3-26）中的jX_L可视为电感参数的复数形式，该式说明了电压、电流的有效值之比等于感抗，同时也说明了电压超前于电流90°的相位关系，如图3-14a所示。

电感电路的相量图如图3-15所示。

（2）功率关系

电感交流电路中的瞬时功率关系为

可见，电感电路中的瞬时功率是幅值为UI、并以2ω的角频率随时间变化的正弦量。如图3-14b所示。电感电路中的瞬时功率正负交替变化的原因，是因为电感线圈是一个储能元件，当电流增加时，线圈中磁场能量增加，它从电源取用能量，其功率为正。当电流减小时，线圈中磁场能量也减小，由于电路中没有耗能元件，磁场释放的能量全部回送给电源，故p为负。也就是说虽然电路中有电压，也有电流，仅从一个周期的整体效果来看，它既不消耗电能，也不输出电能，这一点可以从平均功率得到验证。

上式说明，在电感元件的交流电路中，没有任何能量消耗，只有电源与电感元件之间的能量交换，其能量交换的规模用无功功率Q来衡量，它的大小等于瞬时功率的幅值。即

无功功率的计量单位为乏（var）或千乏（kvar）。

需要注意的是，无功功率并非无用功率，例如后面要讨论的变压器、交流电动机等电气设备需要依靠磁场传递能量，而其中电感性负载与电源之间的能量互换规模就得用无功功率来描述。

【例3-7】已知1H的电感线圈接在10V的工频电源上，求：

1）线圈的感抗；

2）设电压的初相位为零，求电流；

3）无功功率。

解：1）感抗

X_L=ωL=2πf L=2π×50×1Ω≈314Ω

2）设电压初相位为零度，则电流

3）无功功率

Q_L=U_LI_L=10×0.032var=0.32var

3.纯电容电路

（1）电压与电流的关系

线性电容元件在图3-16所示的关联方向的条件下

假定u_C=U_msinωt

则

式（3-29）说明，电容两端加上正弦交流电压后，电容中的电流也是同频率的正弦量，但在相位上超前于电压90°，或者说电压落后于电流90°。

根据式（3-29）令

I_m=U_mωC

则

令，则

X_C称为容抗，它反比于通过电容元件的电流的频率和电容元件的电容量。当ω的单位用弧度/秒（rad/s），电容C的单位用法拉（F）（简称为法）时，X_C的单位为欧姆（Ω）。

当电容元件加上直流电压时（ω=0）时，电容电流恒为零，相当于开路元件，也就是说电容元件有隔断直流电的作用。当电容元件被施加一定频率的交流电压时，由于电压的变化，电容极板上的电荷也发生增减，电荷的增减使得电容中有交变的电流流过，ω越高，电容极板上的电荷变化也就越快，电流也就越大，当ω趋于∞时，电容元件可用短路元件来替代。

据此，可得出电容元件电压与电流关系的结论：

1）电容元件两端的电压及流过电容中的电流均为同频率的正弦量。

2）电容元件上电压滞后于电流90°的相位角。

3）电压与电流的有效值关系为

电容元件上电压，电流关系的相量形式为

电容电路相量图如图3-17所示。

式（3-32）中，-jX_C可以看作电容参数的复数形式。

（2）功率关系

电容元件交流电路的瞬时功率为

可见，电容元件中的瞬时功率是幅值为UI、以2ω为角频率随时间而变化的交变量。这是因为电容是一个储能元件，当电容电压增高时，电容中的电场能量（W_C=Cu²/2）将增加，它将从电源获取电能，则p>0；当电容电压降低时，电容中电场能量减小，而将剩余的能量送回给电源，则p<0。电容电路波形图如图3-18所示。

电容元件在交流电路中的平均功率为

与电感元件一样，电容元件也不消耗任何能量，在电容元件与电源之间只有能量变换，其互换的规模与电感电路一样，用无功功率Q来表示，该值等于瞬时功率的幅值，即

Q_C=UI=I²X_C

为了同电感元件电路的无功功率相比较，同样设通入电容元件的电流为

i=I_msinωt

则

u=U_msin(ωt-90 )°

于是得出瞬时功率

p=ui=-UIsin 2ωt

由此可见，电容元件电路的无功功率

即电容性无功功率取负值，而电感性无功功率取正值。

【例3-8】某电容元件的电压和电流取关联参考方向，已知，，。试求：

1）在工频下的电容值C；

2）电路中电源频率为f′=100Hz时的电流。

解：1）由已知条件有

所以

2）电容的容抗

ω=2πf=2×3.14×100rad/s=628rad/s

所以

3.3.2 多参数组合的正弦交流电路

在实际电路中经常有多种元件，而RLC串联的形式是最简单，也是最基本的电路模型，RLC串联电路如图3-19所示。

1.RLC串联电路电压电流关系

（1）瞬时关系

由于电路是串联的，所以流过R、L、C的电流相同。于是

设，则

（2）相量关系

设为参考相量，则

式中，Z=R+jX称为复阻抗。X=X_L-X_C称为电抗。

复阻抗是一个复数，它的实部是电阻，虚部是电抗。复阻抗的模就是阻抗的大小，复阻抗的辐角就是电压和电流的相位差φ。

式=与直流电路的欧姆定律有相似形式，称为正弦交流电路的欧姆定律相量式。

2.电压三角形与阻抗三角形

由

Z=R+jX=R+j(X_L-X_C)

得

由R、X和复阻抗的模|Z|构成阻抗三角形，如图3-20所示。辐角φ称为阻抗角。

由阻抗三角形

X=X_L-X_C

X=|Z|sinφ

R=|Z|cosφ

由

φ=φ_u-_iφ

可见，复阻抗的模|Z|等于电压的有效值与电流的有效值之比。辐角φ等于电压与电流的相位差。

由可画出电压三角形，如图3-21所示。

U_X=Usinφ

U_R=U cosφ

显然，电压三角形是阻抗三角形各边乘以而得，所以这两个三角形是相似三角形。但要注意的是电压三角形的各边是相量，而阻抗三角形的各边不是相量。电压与电流的相位差φ就是复阻抗的阻抗角。

3.电路参数与电路性质关系

由上式看出，当电流频率一定时，电路的性质（电压与电流的相位差）由电路参数决定（R、L、C）。电路参数与电路性质的关系：

1）若X_L＞X_C，即φ>0，表示电压u超前电流i一个φ角，电感的作用大于电容的作用，这种电路称为感性电路。

2）若X_L＜X_C，即φ＜0，表示电压u滞后电流i一个φ角，电感的作用小于电容的作用，这种电路称为容性电路。

3）若X_L=X_C，即φ=0，表示电压u与电流i同相位，电感的作用与电容的作用互相抵消，这种电路称为电阻性电路，又称为串联谐振。

4.RLC串联电路的功率

（1）瞬时功率和平均功率

RLC串联电路所吸收的瞬时功率为

p=ui=(u_R+u_L+u_C)i

=u_Ri+u_Li+u_Ci

=p_R+p_L+p_C

由于电感和电容不消耗能量，所以电路所消耗的功率就是电阻所消耗的功率。所以电路在一周内的平均功率为

由电压三角形可知

U_R=U cosφ

所以

式中，λ=cosφ为功率因数，平均功率P又称为有功功率。

使用上式注意：P≠U²/R，而是；P≠UI而是P=U_RI=UI cosφ。

（2）视在功率

电路中电压和电流有效值的乘积称为视在功率，即

视在功率的单位为伏安（VA），工程上常用千伏安（kVA）。

视在功率并不代表电路中实际消耗的功率，它常用于标称电源设备的容量。因为，发电机、变压器等电源设备实际供给负载的功率要由实际运行中负载的性质和大小来定，所以，在电源设备的铭牌上只能先根据额定电压、额定电流标出视在功率以供选用。

（3）无功功率

在RLC串联电路中，由于L与C的电流、电压相位相反，所以电感与电容的瞬时功率符号也始终相反，即当电感吸收能量时，电容正在释放能量；反之亦然。两者能量相互补偿的差值才是与电源交换的能量，所以电路的无功功率应为

由电压三角形可知

U_X=Usinφ

（4）功率三角形

由P=UIcosφ，Q=UIsinφ及S=UI可知，有功功率P、无功功率Q和视在功率S也组成一个直角三角形，称为功率三角形，如图3-22所示。显然

功率三角形也可由阻抗三角形各边乘以I²而得，因此功率三角形、电压三角形、阻抗三角形是相似三角形。

3.3.3 复阻抗的串并联

在正弦交流电路中，任意一个由RLC构成的无源二端网络，其两端的电压相量和电流相量之比为二端网络的复阻抗，复阻抗用大写Z表示，无源二端网络如图3-23所示。二端网络的复阻抗为

根据这个定义，电阻的复阻抗为R，电感的复阻抗为jωL，电容的复阻抗为，RLC串联的复阻抗为Z=R+j(X_L-X_C)。

1.复阻抗的串联

图3-24为已知复阻抗Z₁、Z₂串联的电路。

（1）等效复阻抗

令Z₁、Z₂串联的等效复阻抗为Z，则

即两个复阻抗串联的等效复阻抗等于两个串联的复阻抗的和。

由此推论：

几个复阻抗串联的等效复阻抗等于这几个复阻抗的和。

需要注意的是复阻抗是复数，求等效复阻抗的运算一般情况下是复数运算。串联复阻抗的模一般不等于两个复阻抗模相加，即|Z|≠|Z₁|+|Z₂|。

（2）复阻抗串联的分压关系

在图中，若已知Z₁、Z₂、，则

同理

这就是复阻抗串联的分压关系。由此推论：

N个复阻抗的串联分压关系

2.复阻抗的并联

图3-25所示为已知复阻抗Z₁和Z₂并联的电路。

（1）等效复阻抗

令Z₁、Z₂并联的等效复阻抗为Z，则

由此推论：

n个复阻抗的并联等效复阻抗的倒数等于并联的各个复阻抗的倒数和，即

需要注意的是，复数运算中一般。

（2）复阻抗并联的分流关系

在图中，若已知Z₁、Z₂、，则

同理可得

这就是复阻抗并联的分流关系。

【例3-9】有一RC并联电路，已知R=1kΩ，C=1μF，ω=1000rad/s，求等效复阻抗。

解：

容抗

3.3.4 功率因数的提高

在交流电路中，有功功率P=UI cosφ，式中cosφ为电路的功率因数。前面曾提到，功率因数仅取决于电路（负载）的参数，对电阻性负载（如白炽灯、电阻炉等）来说，由于电压、电流同相，其功率因数为1。除此之外，功率因数为0～1。在生产实际中，用电设备大多属于电感性负载，如电动机、电磁开关、感应炉以及荧光灯等。它们的功率因数比较低，交流异步电动机在轻载运行时，功率因数一般为0.2～0.3，在额定负载运行时，功率因数也只为0.8左右。

当电压与电流之间有相位差时，即功率因数不等于1时，电路中发生能量互换，出现无功功率Q=UIsinφ。这样就引起两个问题，一是使发电设备的容量不能充分利用；二是输电线路效率降低。为提高发电及供电设备的利用率，减少输电线上的功率损耗，应提高功率因数。

1.提高功率因数的方法

提高功率因数的很多，常用的办法是在电感性负载的两端并联电容器，并联电容提高功率因数如图3-26所示，这种电容器称为补偿电容。

设负载的端电压为，在未并联电容时，电感性负载中的电流

当并联上电容后，不变，而电容支路的电流

故线路电流

提高功率因数相量图如图3-27所示。

2.注意

采用并联电容器提高功率因数，需要注意以下几点：

1）并联电容器以后，不影响原来负载的正常工作。所谓提高功率因数，是指提高电源或电网的功率因数，不是指提高负载的功率因数。

2）电容器本身不消耗功率。

3）并联电容器以后，提高了功率因数。减少了电源与负载之间的能量互换。这时电感性负载所需的无功功率，大部分或全部都是由电容器就地供给，就是说能量的互换主要或完全发生在电感性负载与电容器之间，因而使发电机容量能得到充分利用。

3.并联电容的选取

设未并联电容时电源提供的无功功率，即感性负载所需的无功功率为

并联电容后电源向感性负载提供的无功功率为

并联电容后电容补偿的无功功率为

|Q_C|

=Q-Q′=P(tan₁φ-tanφ)

由于

所以

【例3-10】某电源S_N=20kVA，U_N=220V，f=50Hz，试求：

1）该电源的额定电流；

2）该电源若供给cosφ₁=0.5，40W的荧光灯，最多可点多少盏？此时线路的电流是多少？

3）若将电路的功率因数提高到cosφ=0.9，此时线路的电流是多少？需并联多大的电容？

解：1）额定电流

2）设荧光灯的盏数为n，即

nP=S_Ncos₁φ

此时线路的电流为额定电流，即I₁=91A。

3）因电路的总的有功功率

P=n×40=250×40W=10kW

故此时线路的电流为

随着功率因数由0.5提高到0.9，线路的电流由91A下降到50.5A。

因cosφ₁=0.5，φ₁=60°，tanφ₁=1.732，cosφ=0.9，φ=25.8°，tanφ=0.483，于是所需电容器的电容量为

3.3.5 电路中的谐振

谐振是电路中可能发生的一种特殊现象。谐振一方面在工业生产中有广泛的应用，例如工业中的高频淬火、高频加热、收音机和电视机的调谐选频等都是利用谐振特性；另一方面谐振有时会在某些元器件中产生大电压或大电流，致使元器件受损或破坏电力系统的正常工作，此时应极力避免。

在既有电容又有电感的电路中，当电源的频率和电路的参数符合一定条件时，电路的总电压和总电流同相，整个电路呈电阻性，这种现象称为谐振。谐振时，由于电压和电流的夹角为零，所以总的无功功率为零，此时电容中的电场能和电感中的磁场能相互转换，此增彼减，完全补偿。电场能和磁场能的总和时刻保持不变，电源不必与负载往返转换能量，只需供给电路中的电阻所消耗的电能。

由于电路有串联和并联两种基本形式，所以谐振也分串联和并联两种。

1.串联谐振电路

RLC串联谐振电路如图3-28所示。它的复阻抗为

Z=R+jX=R+j(X_L-X_C)

当X_L=X_C时，电路呈现电阻性质，即发生串联谐振。

（1）谐振条件

由于X_L=X_C

可见，当电路参数LC为一定位时，电路产生的谐振频率就为一定值，所以f₀又称为谐振电路的固有频率。

因此，使串联电路发生谐振有两种方法，一是当电源频率f一定时，改变电路参数L或C，使之满足式（3-50）；二是当电路参数不变时，改变电源频率，使之与电路的固有频率f₀相等。改变电路参数使电路发生谐振的过程又称为调谐。

（2）谐振特征

1）电流电压同相位，电路呈电阻性，RLC串联谐振相量图如图3-29所示。

2）阻抗最小，电流最大。谐振时电抗为零，故阻抗最小，其值为

Z=R+jX=R

这时电路中的电流最大，称为谐振电流，其值为

图3-30所示为阻抗和电流随频率变化的曲线。

3）电感两端电压与电容端电压大小相等，相位相反。电阻端电压等于外加电压。

谐振时电感端电压与电容端电压相互补偿，这时，外加电压与电阻上的电压相平衡。即

4）电感和电容的端电压有可能大大超过外加电压。

谐振时电感或电容的端电压与外电压的比值为

当X_L＞＞R时，电感和电容的端电压就大大超过外加电压，二者的比值Q称为谐振电路的品质因数，它表示在谐振时电感和电容的端电压是外加电压的Q倍。Q值一般可达几十至几百，因此串联谐振又称为电压谐振。

2.并联谐振电路

谐振也可能发生在并联电路中，下面以电感与电容并联电路为例来讨论并联谐振。

如将一电感线圈与电容器并联，当电路参数选择适当时，可使总电流与外加电压同相位，就称这电路发生了并联谐振。

由于线圈是有电阻的，所以实际电路可看成RL串联后与C并联，并联谐振如图3-31所示。

（1）谐振条件

RL支路电流

电容C支路的电流

故总电流

此式表明，若要使电路中电流与外加电压同相位，则需的虚部为零，即

在一般情况下，线圈的电阻R很小，线圈的感抗ωL＞＞R，故

故谐振频率

即当线圈的电阻R很小，线圈的感抗ωL＞＞R时，并联谐振与串联谐振的条件基本相同。

（2）谐振特征

1）电流电压同相位，电路呈电阻性，并联谐振相量图如图3-32所示。

2）阻抗最大，电流最小。谐振电流为

3）电感电流与电容电流几乎大小相等，相位相反。

4）电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。

电感支路（或电容支路）的电流与总电流之比为电路品质因数，其值为

即通过电感或电容支路的电流是总电流的Q倍。Q值一般可达几十到几百，故并联谐振又称为电流谐振。

思考与练习

1.已知R=10Ω的理想电阻，接一交流电压，试写出通过该电阻的电流瞬时值表达式，并计算其消耗的功率。

2.某线圈的电感L=255mH，电阻忽略不计，已知线圈两端电压，试计算线圈的感抗，写出通过线圈电流的瞬时值表达式并计算无功功率。

3.容量C=0.1μF的纯电容接于频率f=50Hz的交流电路中，已知电流为，试计算电容的容抗，并写出电容两端电压的瞬时值表达式并计算无功功率。

4.在RLC串联电路中，已知R=X_L=X_C=10Ω、I=1A，求电路两端电压的有效值是多少？

5.电路如图3-33所示，已知R=1Ω、X_C=X_L=1Ω，试计算电路的阻抗Z_ab。

6.电路如图3-34所示，电流表A₁、A₂的读数分别为6A和8A，试判断下列情况下Z₁、Z₂各为何种参数？

1）电流表A的读数为10A。

2）电流表A的读数为14A。

3）电流表A的读数为2A。

7.在感性负载两端并联上补偿电容后，线路的总电流、总功率以及负载电流有没有变化？

8.在感性负载两端并联上补偿电容可以提高功率因数，是否并联的电容越大，功率因数提高得越快？