2.1.5 矩阵乘法
矩阵乘法是指两个矩阵相乘——请区别于2.1.4节中的数量乘法，其定义为：
定义 矩阵
和矩阵
相乘，记作：
，其中
，
。
例如：
，根据定义，计算
和
。
显然
，交换律不适用于矩阵乘法。
并且，矩阵乘法并非两个矩阵的对应元素相乘——为什么不固定为对应元素相乘？这样不更简单吗？这个问题，会在2.2节揭晓。不过，这里提醒读者注意，如果用NumPy中的数组表示矩阵，那么在使用乘法符号“*”计算乘法的时候，就会对应元素相乘，而且要求相乘的两个数组形状一样——这其实是数组相乘。
在第1章1.4.2节介绍向量的点积运算时，提到了一个函数np.dot()，如果用二维数组表示矩阵，则通过这个函数所实现的乘法与矩阵乘法的定义相同。
比较直接的方法是创建矩阵对象，在矩阵对象之间使用乘法符号“*”进行计算，即本节所探讨的矩阵乘法。
在矩阵乘法定义中，对两个矩阵的形状也做出了规定，并非任意形状的两个矩阵都能相乘，如图2-1-2所示。
图2-1-2
下面换个角度，尝试用列向量来理解矩阵乘法的计算过程。
性质 假设矩阵
和矩阵
，矩阵
的列分别用
表示，即
，则：
例如：
，按照上述方式计算，得：
若
是
的矩阵（列向量），
，则：
其中
是矩阵
的列向量。
例如：
，按照上述方式计算，得：
这说明，如果一个矩阵与列向量相乘，那么可以认为是矩阵每列的线性组合，或者说将列向量转换为以矩阵的列为基的向量。
下面总结了矩阵运算的性质，其中大写粗斜体字母表示矩阵，小写字母表示标量。
性质 加法和数量乘法：
● 
● 
● 
，
代表零矩阵（矩阵的元素都是
）
● 
● 
● 
矩阵乘法：
● 
● 
● 
● 
，
是单位矩阵
● 
● 注意：
代数中的一些运算性质，不能随意套用到矩阵运算中，特别是与矩阵乘法相关的运算。例如：
● 
● 
上述在数量乘法中显然成立的结论，对矩阵乘法不一定都成立。
● 
，计算显示：
，但
● 
，计算显示：
，但
。
也有类似的，例如指数运算（仅限于方阵）。
性质 设
，则：
例如：
，计算
。
矩阵的指数运算，还有如下性质：
性质 矩阵
是
的方阵，
是大于
的正整数：
● 
● 
● 规定：
在NumPy中有一个进行指数运算的函数np.power()，但它不能实现以上所说的矩阵指数运算。
从输出结果中可以看出，np.power()计算了矩阵中每个元素计算的4次方，这不符合矩阵的指数运算法则。其实np.power()函数，是对NumPy中数组进行指数运算的函数，如果进行矩阵指数运算，则应该这样做：
此外，还可以使用运算符**：
在计算中，要注意区分二维数组和矩阵对象，以及所用函数，是否按照矩阵运算规则完成相应计算。
曾记否，在2.1.2节提到了初等变换和初等矩阵的概念，现在从矩阵乘法的角度，来看一看这两个概念之间的关系。
设矩阵
，进行初等行变换，
，得：
。
换一个角度来看一看初等变换的过程。如果用单位矩阵左乘上面的矩阵
，即：
除了左乘，还可以检测右乘，这就是前面的乘法运算性质中提到的
，单位矩阵左（右）乘任何一个矩阵，结果都是该矩阵。
由单位矩阵经过一次初等行（列）变换得到了初等矩阵，例如也是第二行加上第一行（与刚才
进行的初等行变换一致）：
，然后用这个初等矩阵左乘矩阵
：
读者可以自行验证，如果要实现矩阵的初等列变换，则可以通过右乘一个初等矩阵实现。由此总结如下：
性质 初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵。
如此，就将矩阵乘法和初等变换联系起来了。