2.3.2　转置矩阵

将矩阵的行列互换后所得的矩阵，称为A的转置（Transpose）矩阵，记作：或者。经过转置后，第个元素，变成了第个元素。矩阵的形状由变为。

例如：，转置矩阵为。

如果用np.mat()创立矩阵对象，用它计算转置矩阵就很直观、简单了。

计算上述矩阵的转置：

还可以使用：

输出结果同上。

如果用二维数组表示矩阵，则需要用np.transpose()函数实现转置操作。

转置矩阵在线性代数及机器学习理论推导中都会广泛应用，读者在后续的学习过程中可以体会到它的必要性和用途。在这里我们仅以第1章1.4.2节的点积运算，来说明矩阵转置的应用。

设向量，它们的点积是。如果将两个列向量都看作矩阵，那么点积运算就可以转换为矩阵乘法：

所以：。

于是，在欧几里得空间中的距离、长度和角度定义，可以用上面矩阵乘积的形式表示（特别注意，是欧几里得空间，而不是一般的内积空间）

●　欧氏距离：

●　范数：

●　向量夹角：

对于转置矩阵，有一些运算性质，是必须要了解的，罗列如下：

●　

●　

●　

●　，（是常数）

任何矩阵都有转置矩阵，但有一类矩阵的转置矩阵比较特殊，例如：

矩阵转置之后，居然与相同，这样的矩阵称为对称矩阵（Symmetric Matrix）：

定义　矩阵是方阵，若满足，则为对称矩阵。

对于一般的矩阵而言，，但如果这两个矩阵是同形状的对称矩阵，并且它们的乘积也是对称矩阵，则有：

反之，如果，可得：

概括上述证明过程，就是：是两个对称矩阵，它们的乘积是对称矩阵的充分必要条件是。