3.2.1　线性组合

假设存在向量组A：a₁，a₂，…，a_n（a_i∈Rm），对于任意一组实数k₁，k₂，…，k_n，有

k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n

上述表达式为向量组A的线性组合，其中，k₁，k₂，…，k_n被称为向量系数。如果存在一组不全为0实数k₁，k₂，…，k_n，使得任意一个向量b满足下列等式：

b=k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n

则称向量b可以被向量组A线性表示。

向量空间是由若干向量构成的非空集合，也称为线性空间。对于任意实数集{k₁，k₂，…，k_n}，由k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n构成的所有向量集合称为向量空间{k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n，k_i∈R}。

通过人为定义向量空间来容纳“向量”“向量加法”和“向量标量乘法”及三者的性质，让“向量空间”作为这三者的“家”。向量空间是满足“向量加法”和“向量标量乘法”法则的集合（向量集），假设给定一个域F，一个非空集合V叫做域F上的一个向量空间存在向量空间V满足以下几个性质：

（1）交换律：α+β=β+α对任意α，β∈V成立；

（2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）对任意的α，β，γ∈V成立；

（3）存在一个0∈V，即零向量，满足α+0=α对任意α∈V成立；

（4）对任意的α∈V，存在一个-α∈V，满足α+（-α）=0；

（5）对任意的α∈V，a，b∈F，有（a+b）α=aα+bα；

（6）对任意的α，β∈V，a∈F有a（α+β）=aα+aβ；

（7）对任意的a，b∈F，α∈V有a（bα）=（ab）（α）；

（8）1α=α。