第5章 开隐！

圆锥曲线的巧法，一般得跟性质挂钩。

那么，这题可是抛物线啊。

抛物线最基本的性质不就是点到F的距离等于到准线的距离吗？

姜泠直接悟了！

她画出准线，这样一来AF距离就可以转成A的纵坐标加2。BF同理。

从而轻轻松松表示出AD和BE的长度。

二者相乘就是x₁x₂²/64。

接着联立，用韦达。

然后会发现设的k其实无所谓，因为要用的是x₁x₂＝c/a，只和关键方程末尾的常数有关。

算出答案＝4。

芜湖！

姜泠在心底欢呼一声。

哈哈哈，总算做完选填啦。

她看了一眼时间，刚好用了50分钟。

姜泠把选填的答案填上答题卡。

然后出去用5分钟吃了个晚饭。

回来继续做大题。

17题有一个应用背景，观测气象仪器垂直弹射高度。

在C地进行垂直弹射，地面观测点 AB两地相距 100米，∠BAC=60°。

在A地听C地传来的弹射声音的时间比B地晚2/17秒。

A地测该仪器在C地的俯角为15°。

A地测得最高点H的仰角为30°

（声音的传播速度为 340米/秒）

姜泠有点烦应用题。

就算烦，还是得做。

第一问，（1）求AC两地的距离。

这种有图形的题，首先得尽力把能算的长度算出来标上去。

第一个就是用声音那个条件，可以算得b和a长度差了40m。

这算一个式子。

现在求b，就可以看出是要在△ABC里用一个余弦，就是另一个式子。

联立解方程就可以了。

姜泠解得AC距离为420m。

(2)求该仪器的垂直弹射高度 CH.(结果保留根号）

姜泠看了一眼题。

姜泠：……额。

这题？

有毛病吧。

不是，第一问算出AC，又给了仰角，又是垂直弹射高度。

直接420除以√3不就出来了吗？

但是……

题干上还有个条件没用啊。

而且，怎么可能这么简单？

“A地测该仪器在C地的俯角为15°。”

那应该A比C地势高但是题干没写明，用俯角这个条件写。

姜泠画了个图终于明白了。

这样可以分别算出∠CHA和∠CAH，CA已知，然后再用个正弦定理就完事儿了。

解得CH＝140√6。

姜泠继续做18题，统计。

第一问很常规。用直方图求平均数和方差。

就是直方图的算法和离散数据不太一样，有别的公式。

平均数＝xi× si求和

方差＝（x的平均数-xi）²·si求和

注意xi是小矩形中点。

姜泠很快算得平均数为0.45，但是方差真的太难算了。

姜泠算了好半天，算出来是0.0555。

这个数吧，你算出来好像是它没问题。

但你又不敢相信是它。

考场上遇到会纠结老半天的程度。

第二问算卡方要好的多。

先把列联表给补充完整，然后直接套公式就行了。

姜泠很快算出答案＝3.069＞2.706，所以有90%的把握。

接着来到第19题，又是立体几何。

什么时候才能给她来一个放17题的立体几何啊。

姜泠叹气。

四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，AD⊥BP，AP⊥BD，E在棱AB，F在棱PD，都不在端点，AE/AB＝DF/DP。

第一问要证明线线垂直。

那就得用线面。

姜泠看了一眼，要证两个线面垂直来转。

她很快就证出来AP⊥CE。

第二问，AB＝AP＝1，BC＝2，C-BEF的体积取得max时，平面CEF与PA交于N，求EN的长。

姜泠盯着那个最大值看。

要满足比值条件，还不能在端点……

好吧，她没思路。

姜泠决定跳过。

来到第20题，这次是圆锥曲线。

给一个焦点在x轴的椭圆，e＝√2/2，l过右焦点F交C于MN两点（M不在x轴），l⊥x轴时，△OMN面积为2√2。

第一问还是常规求C方程。不过明显的条件不全，姜泠还是先画个图，也就是l⊥x轴时，用一个通径列式，加上e解方程。

解出a＝2√2，b＝2，方程就出来了。

第二问，问在x轴上是否存在异于F的定点P，使F到NP的距离与到MP的距离相等。

若存在求出P的坐标。不存在说明理由。

应该要想办法先表示出dF-NP和dF-MP……

不对。

姜泠用铅笔略微画了一下，发现其实不用那么麻烦。

圆锥曲线最难的其实就是翻译条件，剩下的全是计算了。

因为P要在x轴上，F也在x轴，要到两直线距离相等，其实只需要译成kPM＝-kPN即可。

这里要注意是互为相反数不是相等。

接下来……姜泠也不知道设谁好，干脆三个都设出来再说。

反设l：x＝my+2，P（n，0），M（x1，y1），N（x2，y2）

然后表示斜率k。

再令二者相等，交叉相乘就可以得到，y1x2-ny1＝y2x1-ny2。

因为反设，所以关键方程出来一定是关于y的。

那么就把x换掉。

得到：2my1y2+（2-n）（y1+y2）＝0

接着联立，用韦达把积与和算出来。

然后代入上式。

会发现m可以抵掉，即可得到n＝4。

也即P（4，0）。

姜泠接着做21，是她最喜欢的导数题。

题干还是那么简洁。

f（x）＝eˣ-ae²x

第1问，讨论f（x）的单调性。

当然要先求导了。

毕竟无论怎样，求导就能有一分。

f'（x）＝eˣ-ae²，注意x属于R。

看得出来单增就不用导第二次了。

先讨论有没有零点的问题。

a＝0和＜0的时候显然是没有的。此时导数恒＞0，原函数单增。这算第一种情况。

a＞0时有零点，取个对数可以看出零点是x＝lna+2，得到单调性左减右增。

姜泠还是懒得写综上，而且单增单减也打箭头。

当然，她知道考试的时候是万万不能这样的。

第2问，a＜0时，证明：f（x）＞e²lnx

先把f（x）一抄，写上定义域x＞0

系数为正显然可以参变。

不过……

姜泠看着这参出来的东西皱了皱眉。

eˣ-e²lnx/e²x＞a

着实有点难看，求导不得恶心死。

姜泠略一观察，思索起来，题干给了很多限制符号的条件。

也许可以放缩一下呢？

直接把符号确定的e²x乘到右边，a＜0，那么还是＜0，这样只用证eˣ-e²lnx＞0就行了。

放缩有风险，不过总要试一试。

重新令一个函数g，求导，通分，分子单增。

但是隐零点。

姜泠蚌埠住了。

没事，21题了，这个难度也是应该的。

她宽慰自己，直接开隐。

她代了几个值发现x₀在（1，2），然后说明零点存在。接着用导数列出关系式。

隐零点一般还要取对得到两个关系式才能给最终式消元。

消元时面临一个选择，留x还是lnx还是eˣ。

姜泠也不知道。

她把三个都试了一遍，发现留eˣ能用基本不等式得证。

回学校之后问问老师吧。

姜泠想到，做最后一个选做题。

当然还是闭眼选极坐标参方。

第1问求l和C的普通方程，一个给的参方一个给的极坐标。

求l把参数消掉就行。求C就用公式换就可以了。

第2问，M（-3，-1），l与C交于AB两点，求丨MA丨·丨MB丨

正好题干给的直线参方过（-3，-1），那就联立直线参方和圆的直角坐标方程。

得到关键方程后用韦达就好了，算出来＝21。

总算做完模三了。

姜泠呼出一口长气，时间已经快八点了，她打算先去洗个澡。

姜泠把手机拿进卫生间，本来一直关着静音的，为了听歌不得不打开。