1.3.1 十进制数

我们通常用所谓的十进制位值记数法（decimal place-value notation）来书写数字。让我们来分析一下。位值记数法（或按位记数法）是指被书写数字的每个位置都代表一个不同的数量级，十进制（或以10为基数）是指数量级的因数是10，每个位置可以是0～9这十个不同符号中的一个，参见图1-1的位值记数法示例。

在图1-1中，该数字用十进制位值记数法写作275。5在个位上，代表它的值是5×1=5。7在十位上，代表它的值是7×10=70。2在百位上，代表它的值是2×100=200。所有位置代表的值的总和为5+70+200=275。

图1-1 十进制位值记数法表示的275

很容易吧？你可能在一年级就明白了。但是，让我们仔细研究一下为什么最右边的是个位？为什么下一个位置是十位？这是因为我们采用的是十进制，或者以10为基数，所以每个位置的权重就是10的幂，如图1-2所示，最右边的位置是10的0次幂，也就是1，下一个位置是10的1次幂，也就是10，再下一个位置是10的2次幂，也就是100。

图1-2 在十进制位值记数法中，每个位置的权重都是10的幂

如果需要用十进制表示大于999的数，就在左边再增加一位，即千位，它的权重等于10的3次幂（10×10×10），也就是1000。继续按这个模式扩展，我们就可以得到任意大的数字。

我们已经知道了为什么不同的位置有不同的权重，让我们继续深挖一下为什么每个位置都使用符号0～9？当使用十进制时，我们只有10个符号，因为根据定义，每个位置只能表示10个不同的值。0～9是目前所使用的符号，但其实可以使用任何一组10个具有唯一性的符号，这其中的每个符号对应一个特定的数值。

大多数人喜欢把以10为基数的十进制系统作为数字系统。据说这是因为我们有10个手指和10个脚趾，但不管理由是什么，现代世界的大多数人阅读、书写和思考数字时都使用十进制。当然，这只是我们集体选择用来表示数字的一种约定。正如我们前面提到的，这种约定不适合应用在计算机上，计算机只使用了两个符号。让我们看看在限定两个符号的同时，如何运用位值系统。