1.5　债券远期/期货合约的定价与估值★★★

1.5.1　短期国债远期合约

短期国债（T-bill）远期合约的定价估值方法与无股利股票远期的定价估值的求解方法完全一致，为了加深印象，我们再次通过画图的方式把这一过程给大家梳理一遍。

1.短期国债远期合约定价

如图8-19所示，已知t=0时刻合约双方签订了远期国债合约，其约定在t=T时刻多头方以合约价格FP从空头方处买入国债，并且在t=0时刻时，国债现货价格为S0，求远期合约价格FP为多少？

·在t=T时刻时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示支付现金流），同时收到价格为ST的国债标的资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。

·要求t=0时刻远期合约的价格，需要将发生在期末时刻的支付的现金流以无风险收益率折现至t=0时刻，即，而ST的现值即为t=0时刻债券的现货价格S0。

·由于远期合约在签订时，合约双方权利义务对等，因此在t=0时刻远期合约价值为0，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头），即。

·公式变形即可得出远期合约价格，FP=S0×（1+Rf）^T。

2.短期国债远期合约估值

通过上述例题，我们求解出了远期合约价格FP，现在我们假设已知t=t时刻国债价格为St，求t=t时刻短期国债远期合约的价值Vt为多少？

与无股利股票求解方法类似，此时我们只需将发生在t=T时刻的现金流和资产价值折现至t=t时刻即可。我们通过图8-20梳理一下求解思路及过程。

·在t=T时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示现金流支付），同时收到价格为ST的国债标的资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。

·若求t=t时刻远期合约的价格，需要将期末现金流以无风险收益率进行折现至t=t时刻，即，而ST的现值即为t=t时刻债券的现货价格St。

·t=t时刻，远期合约多头方的价值为PVST-PVFP（向上箭头减去向下箭头），即Vlong=。

1.5.2　付息债券的远期合约

付息债券远期合约价格与价值的计算与支付股利股票远期合约的计算方法类似，只是期间现金流由股票分红变成了债券利息，但是与股票不同，债券远期合约不存在标的资产为“债券指数”的情况，因此其计算相对简单。付息债券远期合约的

价格计算公式：FP=（S0-PVC0）×（1+Rf）^T

价值计算公式：

式中，PVC0表示t=0时刻，合约期间债券利息收入现值之和。PVCt表示t=t时刻，合约期间债券利息收入现值之和。

继续通过画图法对上述两个公式进行理解（见图8-21和图8-22）。

如图8-21所示，与计算支付股利股票远期合约相同，

·付息债券远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头表示）。

在t=T时刻，远期债券合约多头方将按合约价格支付FP，其在t=0时刻的现值为。

·远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头表示）。

由于合约期间利息收入归空头方所有，因此多头方现金流流入部分，在t=0时刻的现值应为PVST=S0-PVC0。

·根据t=0时刻V0=0，我们可以得出，t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头），即得到FP=（S0-PVC0）×（1+Rf）^T。

如图8-22所示，与计算支付股利股票远期合约价值相同。

·远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头）。

无论是在t'、t″还是t'''时刻，多头方现金流流出部分的现值均可用PVFP进行表达。

·远期合约多头方现金流流入的部分（向上箭头）。

这里仍然是将标的资产未来收到的现金流折现至t时刻，统一可以表达为PVST=St-PVCt。注意，不同时点债券合约待付利息的笔数也是不同的。

·在t=t'时刻，债券价格St'中包含C1和C2两笔债券利息，因此C1和C2的现值均需从St中扣除，即PVCt=PVC1+PVC2。

·在t=t″时刻，St″中只包含C2一笔债券利息，因此只需将C2的现值从St中扣除，即PVCt=PVC2。

·在t=t'''时刻，截止合约到期时，该债券未来不再支付债券利息，因此St'''中未包含任何利息，t=t'''时刻PVCt=0。

·求出在t=t时刻，远期合约多头方价值为。

【例题】债券远期合约的定价

根据以下条件计算债券远期合约的价格。

·合约期限为90天，期间没有应计利息。

·债券报价为115美元，距离上次付息日的应计利息为0.5美元。

·无风险利率为0.5%，票面利率为6%。

解答：

1.5.3　短期国债期货合约

·短期国债期货合约：是以面值为100万美元的90天到期的短期国债为标的资产的远期合约。

·短期国债期货报价方式为：

100×（1-年化折现率）

·短期国债期货合约的定价。

·与短期国债远期合约相同，由于短期国债期货合约在合约期间没有现金流流入，其价格为：

FP=S0×（1+Rf）^T

·当标的资产合约期间不产生期间现金流或储存成本时，上述公式右边表明了该标的资产的购买成本以及投资者在时长为T的期间内持有该标的资产的持有成本。该持有成本通过对资产在持有期进行Rf计息来表示。

李老师说

关于远期国债合约，我们需要注意一下它的报价方式和折现方法。

通常我们接触到的国债远期合约报价形式如下：

期限90天，面值为100万美元的国债远期合约价格96万美元。

那么数值96是不是说明该远期合约的价格就是96万美元呢？当然不是！

由于国债是零息债券，多为折价发行，所以这里的96代表着票面金额的96%。值得注意的是，这里的并不是说投资者可以以96%的价格购买到期限为90天，面值为100万美元的远期国债合约，因为这里的96%是一个年化的概念。所以我们需要先去年化方可求出债券价格。去年化过程如图8-23所示。

由图8-23，由于远期国债合约的价格是国债面值的96%，即年化折扣率为4%（＝1-96%），根据债券期限90天我们将其去年化。由此，该远期国债的实际折扣率为1%，即该远期国债的实际交易价格为票面金额的99%，100×99％＝99（万美元）。

在这种标价法下，合约价格最小变动为。

此外，折现方法分为复利和单利两种。

复利的折现公式为，它是我们在求远期国债合约价格时用到的折现方式。应注意的是，去年化使用的天数为365天。

单利的折现公式为，这里去年化使用的天数为360天。

1.5.4　长期国债期货合约★★★

（1）长期国债期货合约（T-bond futures contracts）：该类合约是指以面值为＄100000，并且期限为15年以上的付息长期国债为标的资产的期货合约。

（2）长期国债的报价：长期国债在很多国家以净价的形式进行报价，但在实际交易时，买家通常在净价的基础上还支付了一个应计利息（长期国债一定会有利息），我们把这个实际的支付价格称为全价，即

全价=净价+应计利息

·应计利息（accrued interest）：是当债券在两个付息日之间交易时，卖方应当收到的应计未付利息。

·应计利息等于债券票面利息乘以付息日至交割日的时间占付息期间总时长的比例。

·应计利息=票面利息×。

式中，t为上一个付息日到交割日之间的天数；T为上一个付息日到下一个付息日之间的天数，即付息期间（见图8-24）。

·净价（flat price，或clean price）：协议约定的债券价格，即不包含应计利息的债券价格；它是债券市场上债券报价。

·全价（full price，或dirty price）：买方实际支付给卖方的金额，即包含应计利息的债券价格。全价等于净价与应计利息的和，它是债券买卖双方实际进行交割的价格。

（3）长期国债的交割：该类合约的空头方具有交割选择权（delivery option），所谓选择权是指合约空头方有权在多种长期国债中选择一种对自身有利的合约用于交割。在合约初始时，每种可用于交割的债券均被赋予一个转换因子（conversion factor，CF），通过该转换因子（乘以转换因子），我们可以求得用于交割的标的资产债券的合理价格。在交割日，由空头方指定的用于交割的债券，通常是最便宜的可交割债券［cheapest-to-deliver（CTD）bond］。★

术语解释

转换因子：该因子被广泛用于芝加哥商品期货交易所长期国债和中期国债结算价格的调整因子。每种可交割的长期国债乘以其对应的转换因子得到其合理价格水平。

最便宜可交割债券：长期国债期货合约的空头方在交割当日根据可供交割的实物债券的价格、转换因子、期货合约报价，确定可供交割的债券中最便宜的债券，并将其用于实务交割。这对于长期国债期货的卖方而言是有利的。

李老师说

长期国债期货合约通常以期限大于等于15年的长期国债作为标的资产。市场上存在的期限大于15年的长期国债通常也不止一种，例如期限为15年、20年、25年、30年的长期国债，这些实务中的债券都是可以用于交割的债券。无论标的资产为何种债券，期货合约本身只有一个价格FP。这是由于长期国债的现货市场和期货市场交易均不活跃，因此对于长期国债期货合约市场报价只有一个。我们用FP乘以不同标的资产债券对应的转换因子，就能得到每类标的资产的合理价格。

由于在合约到期时空头方有权选择交割成本最低的债券（最便宜可交割债券）进行交割，于是在合约签订时为了将各种期限不同的债券进行统一，合约双方为每种可用于交割的债券赋予一个转换因子，以使各种可用于交割的债券价格在合约签订时能够反映资产本身价值的高低。但是，在合约到期时，由于各种可用于交割债券价格的变动，以及期货合约价格的变动，期初约定转换因子已不太能将各可交割债券的价值调整至其合理水平。所以此时不同标的资产债券就会出现“贵贱”之分，于是空头方便可选择“最便宜”可交割债券进行交割。

（4）长期国债期货的定价，用于具体交割的标的债券的报价为：

考虑到应计利息的情况，那么用于交割的标的债券的报价为：

最后，经过转换因子的调整，长期国债期货合约的报价为：

我们仍然采用画图法对长期国债期货合约（考虑到应计利息的情况下）的定价计算公式进行说明（见图8-25）。

·多头方现金流流出的部分（向下箭头）。

在t=T时刻，多头方将按合约价格支付FP+AIT金额给合约空头方（注意此时的应计利息为期末的应计利息AIT），这一金额在t=0时刻的现值为。

·多头方现金流流入的部分（向上箭头）。

考虑到应计利息的情况，在t=0时刻ST的现值应为PVST=S0+AI0-PVC0。注意到，此处的应计利息应为期初的应计利息AI0。

·根据t=0时刻V0=0，我们可以得出，在t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头）就得到=（S0+AI0）-PVC0，即FP=（S0+AI0）（1+Rf）^T-FVC0-AIT或

·注意到这是一个具体标的长期国债本身的报价，如果要得到国债期货的价格，我们还需对其除以转换因子进行调整，因此国债期货的最终报价为：

【例题】长期国债期货合约的定价

请根据以下条件计算长期国债期货的价格。

·标的债券还有20年到期，息票率为3%，面值为1000元，半年付息一次，报价为1010元。

·期货合约在13个月后到期。

·假设现在距离上次支付利息的时间已经过去了2个月。

·假设市场中的无风险利率为6%。

·转换因子为1.2。

解答：

1.下一次的付息时间分别为4个月后和10个月后，因此当合约到期时，距离上次付息日为3个月。

2.计算AI0和AIT。

3.画图（见图8-26）。

·多头方现金流流出的部分（向下箭头）。

在t=T时刻，多头方将按合约价格支付（FP+7.5）的金额给合约空头方，这一金额在t=0时刻的现值为。

·多头方现金流入的部分（向上箭头）。

在考虑了应计利息的情况下，多头方在t=T时刻得到的ST的现值为1010+，

·根据t=0时刻V0=0，我们可以得出，在t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向上箭头），即得到：

求解得FP=1042.75（元）。

·注意这是一个具体标的长期国债本身的报价，如果要得到国债期货的价格，我们还需对其除以转换因子进行调整，因此国债期货的最终报价为：