2.4.2　选择单元

通常，分析对象的几何特征、数学模型（即数理方程）和求解精度决定了有限元的单元类型及其属性，而单元类型及其属性又与单元自身的几何结构、节点数、自由度、内部坐标以及依附在单元上的材料性质、表面载荷和特殊参数等因素有关。当以多项式作为单元插值函数时，单元形函数的阶次与项数由单元类型、单元节点数和单元节点的分布所决定，例如图2-27所示的三角形单元。

图2-27　三角形单元的形函数阶次与项数

可以证明，对于二维单元，其形函数阶次与项数的选择必须满足数学上的巴斯卡三角形（图2-28）法则，而对于三维单元，其形函数阶次与项数的选择则必须满足数学上的帕斯卡尔三角锥（图2-29）法则。

图2-28　巴斯卡三角形对应的多项式阶次与项数

图2-29　帕斯卡尔三角锥对应的多项式阶次与项数

尽管采用高阶次形函数将有助于提高单元插值精度（见图2-30），但是却使求解有限元方程组的计算量大大增加，因此，在选择单元时应遵循以下原则：

①针对具体问题，尽量采用节点数较少的单元。

②如果分析对象的边界比较规整，则尽量选择只有端节点的单元；如果边界是曲线或曲面，则可考虑选用带边节点或面节点的单元。

③对于具有轴对称结构的分析对象，可考虑选择轴对称单元（见图2-31）。

图2-30　形函数阶次对单元插值的影响

图2-31　常用轴对称单元类型

此外，选择单元时还需考虑使其类型与分析对象的数学模型相吻合。例如，金属板料冲压成形一般选用壳单元或膜单元，铸件成形一般选用六面体或四面体单元，而构建塑料注射成形的浇注系统一般选用梁单元或杆单元。

对于利用有限差分法计算仿真材料成形过程，不存在单元选择问题。