第一节 积分变换推导复频谱数学模型

光是电磁波，电磁波的波函数一般用如下形式表达：f=(x, y, z, t)。相对于光速而言，人在空间的位置可以看作静止的，所以可以把光的波动仅仅看作时间函数，用f (t)表示。应用现代通信科学“信号与系统”理论，光刺激视细胞后产生神经脉冲，不妨把神经脉冲看作Delta信号δ(t)的脉冲序列，即δ(t-nT)。式中n是从零到无穷大的自然数列；T是脉冲间隔时间。进入人眼的光是时域连续信号f (t)，经过神经脉冲信号δ(t-nT)的处理，则变成了时域离散信号[9]，即：

显然，fs(nT)是一个时间间隔为T的经n次抽样离散的时域函数信号。这种信号只有在时间t等于T的整数倍时，信号fs(nT)才有值，当t ≠ nT时，fs(nT)=0。

在（4-2）式里T是时间常量，反映了在nT时间内进入一个锥体细胞的光子概率，与振幅相关。由此，（4-2）式的积分又可以写成如下求和式：

为了把时域信号变为复频域信号，需要对（4-3）式进行拉普拉斯变换，即将fs(nT)变换为Fs(s)：

将（4-4）式的积分与求和前后次序对调一下，先积分再求和，得到：

现在引入一个新的变量Z，进行Z变换，使Z平面与S平面成映射关系，即：

这样一来，（4-5）式中的复指数函数就变成了Z的复变函数，即：

那么，原来的拉普拉斯变换的复频域Fs(s)，就变成了复变函数Z的负n次幂的求和式，即：

这是一个复变量Z-1的n次幂级数之和。如果|Z|>0，则级数收敛。

在拉普拉斯变换里，复平面：S=σ+iω，是个复数；在Z变换里，Z平面：Z=reiθ，也是个复数。把两个复数平面联系起来，即：

（4-8）式中的fs(nT)项与视神经脉冲序列相关，实际上与光的振幅相关。（4-9）式中的eσT项，其中指数σ是个实数，如果σ<0，则eσT项递减。假设让eσT项与fs(nT)项相乘，即fs(nT)·eσT，则数列收敛。现在把Z变换与视神经脉冲序列联系起来fs(nT)·eσT项相当于振幅r，于是

到此，（4-10）[10]式已不仅仅是一个积分变换式，在（4-10）式里r对应了光的振幅，而θ已不仅仅是相位（弧度），θ=ωt，又因为ω=2πv, v是光的频率。在Z平面上，相位θ对应的是光的频率。在两级积分变换里，设定一个时间T，于是原本在时域t里光的动态频率v映射在复频谱上变成了复频域静态θ的相位。也就是说，在一定时刻T，可见光的不同频率映射在Z的极坐标复平面上均匀地分布在不同相位（弧度）上。光在进入眼睛以前是电磁波，一旦进入眼睛，经过T时信号处理，被人感知，光就变成色了。在Z平面上，光的振幅与矢径r相关，光的频率与相位θ相关。不同的频率，对应不同的相位，显示不同的颜色。这就是在Z平面上光与色有对应的物理意义。（4-10）式Z=reiθ就是光色变换复频谱数学模型的表达式。

有朋友会问，为什么要进行这些积分变换？光无论是波动性还是光子的动量都具有矢量性。我们设定颜色也具有矢量性。那么只有在复数域里才能找到光与色的映射关系。另外，积分变换的妙处在于通过它就可以把动态的时域变量变换成静态的频域变量。而又可以把频率变换成相位，将频率与色相对应，这样一来，就给颜色赋予了与光对应的物理性能。

那么，既然拉普拉斯变换的S域eσ+iω已经是复数域了，如图4-2所示，为什么还要进行Z变换？在图4-2拉普拉斯变换S域里，σ是实轴。而与频率相关的iω在虚轴上。我们知道，可见光的频率在电磁波大家族的频域里只占很窄的一小部分，而且可见光红端以外的频率继续向更低的方向延伸；而蓝端以外的频率也继续向更高的方向延伸。红蓝两端延伸的方向相反，它们两端在S域复平面上不可能重叠。

与频率相关的是色相，大量人工视觉实验表明，可见光产生的颜色按频率排列，红端颜色与蓝端颜色在色相上却是接近的。由它们俩合成的紫红色从蓝到紫红再到红，在色相的变化上也是连续性的。可是在拉普拉斯S域的虚轴上无法实现这种周期性的重叠与连续。考虑到在Z变换里将圆频率ω变换成相位θ(0～2π)，呈现出的周期变化，恰好可以满足色相变化的要求，Z变换Z平面如图4-3所示。

在Z平面里，若以某一个频率为基频v0，假设这个基频位于零相位，那么与这个基频所有正整数n的倍频的频率转过n个2π后都与基频处在同一个零相位上。而这个倍频内其他频率则会均匀地分布在Z平面0～2π相位上。可见光红端的频率为384MMHz，紫端的频率为768MMHz，恰好是一个倍频。这样红紫两端的相位都重叠在零相位上。由频率映射的色相在Z平面上形成一个封闭的、连续的色相环。

拉普拉斯变换只是复数平面，Z变换则将复数平面进一步变换为周期循环的相平面。虽然二者表征的都是矢量，但是光从Z变换复平面上的相矢量（phasor）映射到复频谱变成色矢量，不仅能够将频率的变化与色相的变化一一对应，更能表达色相变化的规律，从而证明当年牛顿假想的颜色环是有科学依据的。