1.2 古典概型与概率_概率论与数理统计-QQ阅读男生都市网

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1.2 古典概型与概率

事件发生（出现）可能性大小是用概率来描述的．概率的概念是逐步形成和完善起来的．最初人们讨论的是古典概型试验中事件发生的概率，即古典概率．

1.2.1 古典概型、随机抽球问题

1. 古典概型

所谓古典概型是指样本空间中的样本点的个数是有限的且每个样本点（组成的基本事件）发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可能性．对于古典概型试验，概率定义如下．

定义1.2　设试验E是古典概型的，其样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}．若事件A由k个样本点组成，则定义A（发生）的概率为 39940-00-014-01 ，记为P（A），即

并称这样定义的概率为古典概率，称概率这样的定义为古典定义．

显然，古典概率的计算要借助加法原理、乘法原理以及排列与组合的相关知识得出k和n，进而求得相应概率．

根据定义可得古典概率满足以下3个性质．

（1）对任意事件A，有0≤P（A）≤1．

（2）P（Ω）＝1．

（3）设A1，A2，…，Am为两两互斥的m个事件，则 39940-00-014-03 ．

这三条分别称为概率的有界性、规范性与有限可加性．

下面讨论几种常见的古典概型计算及其应用．

2. 随机抽球问题

随机抽球问题是概率论中第一种典型的古典概型．我们先讨论一个相对比较简单的抽球问题．

【例1.6】一口袋装有6只球，其中4只黑球、2只红球．从袋中取球两次，每次随机地取一只．考虑两种取球方式：（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球．这种取球方式叫作放回抽样．（b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球．这种取球方式叫作不放回抽样．试分别就上面两种情况求：

（1）取到的两只球都是黑球的概率．

（2）取到的两只球颜色相同的概率．

（3）取到的两只球中至少有一只是黑球的概率．

解　设A＝{取到的两只球都是黑球}，B＝{取到的两只球都是红球}，C＝{取到的两只球中至少有一只是黑球}．易知{取到两只颜色相同的球}＝A＋B．

在袋中分两次取两只球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而可利用古典定义来计算事件的概率．

（a）放回抽样的情况．

第一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取．由乘法原理知，共有6×6种取法．即样本空间中元素总数为6×6．对于事件A而言，由于第一次有4只黑球可供抽取，第二次也有4只黑球可供抽取，由乘法原理共有4×4种取法，即A中包含4×4个元素．同理，B中包含2×2个元素．于是

由于AB＝Ø，得

（b）不放回抽样的情况，由读者自己完成．

【例1.7】袋中有a只黑球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽样；（2）作不放回抽样，求第i（i＝1，2，…，k）人取到黑球（记为事件B）的概率（k≤a＋b）．

解　（1）放回抽样的情况，显然有

（2）不放回抽样的情况．各人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有（a＋b）（a＋b－1）…（a＋b－k＋1）＝ 39940-00-015-04 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同．当事件B发生时，第i人取的应是黑球，它可以是a只黑球中的任一只，有a种取法．其余被取的k－1只球可以是其余a＋b－1只球中的任意k－1只，共有（a＋b－1）（a＋b－2）…[a＋b－1－（k－1）＋1]＝ 39940-00-015-05 种取法，于是B中包含 39940-00-015-06 个基本事件，故由定义1.2得

值得注意的是P（B）与i无关，即k个人取球，尽管取球的先后次序不同，各人取到黑球的概率是一样的，大家机会相同（例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）．另外，还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P（B）是一样的．

【例1.8】设袋中有N个红球，M个黑球，现有放回地从袋中摸球，求：

（1）在n次摸球中恰好摸到k（k≤n）个黑球的概率．

（2）第k次才摸到黑球的概率．

（3）如果摸球是不放回的，求在n次摸球中恰好摸到k（k＝0，1，2，…，min（M，n））个黑球的概率．

解　（1）由于袋中有N＋M个球，且摸球是有放回的，故每次摸球都有N＋M种可能（这里设想球是编了号的，即是可辨的），设A表示事件“有放回地摸球，在n次摸球中恰好摸到k（k≤n）个黑球”，则

39940-00-015-08 ，k＝0，1，2，…，n，其中 39940-00-015-09 ．

由于 39940-00-015-10 是二项展开式 39940-00-015-11 的一般项，所以称 39940-00-015-12 为二项分布的概率公式．

（2）设B表示事件“有放回摸球中第k次才摸到黑球”，则

39940-00-016-01 ，k＝1，2，…，其中 39940-00-016-02 ．

由于p（1－p）k－1是几何级数 39940-00-016-03 的一般项，所以称p（1－p）k－1为几何分布的概率公式．

（3）设C表示事件“无放回地摸球，在n次摸球中恰好摸到k个黑球”，则

39940-00-016-04 ，k＝0，1，2，…，min（n，M）．

39940-00-016-05 式即所谓超几何分布的概率公式．

二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．有放回抽样时，每次抽取的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型；而不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．

在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题．如某人有6把钥匙，其中3把大门钥匙，但是他忘记了哪3把是大门钥匙，只好不放回随机试开，求他第k（1≤k≤4）次才打开大门的概率与在3次（试开）内打开大门的概率．这个问题中如果把“钥匙”换成“球”，“大门钥匙”换成“黑球”，则问题就变成摸球问题，其中事件“第k（1≤k≤4）次才打开大门”变成“第k（1≤k≤4）次才摸到黑球”，事件“在3次（试开）内打开大门”变成事件“在前3次内摸到黑球”．我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多地交待实际背景．

1.2.2 随机分球问题

“分球入盒”问题是概率论中另一种重要的古典概型．实际中的投信、分配、住宿、不定方程的求解问题都与“分球入盒”问题具有相通之处．

【例1.9】将n只不同编号的球放入N（N≥n）个盒中，每球以相同的概率被放入盒中，每盒容纳球数不限，试求：

（1）恰有n个盒中各有一球的概率．

（2）n个球都在一个盒中的概率．

（3）至少有2个球在同一个盒中的概率．

解　因为每个球有N种放法，n个球有Nn种放法，即样本点总数为Nn．

（1）设A表示事件“恰有n个盒中各有一球”．N个盒中有n个盒各有1个球，是哪n个盒子？可能是前n个，也可能是后n个，共有 39940-00-016-06 种不同情形．对于某种指定的情形（如前n个盒中各有1个球），第一个球有n种放法，第2个球有n－1种放法，依此类推，第n个球有1种放法，再由排列组合的乘法原理知，A中有 39940-00-016-07 ！个样本点，所以