1.3 概率的定义及性质

从例1.1可以看出，每个试验（本书中随机试验简称为试验）的每次试验结果都具有不确定性，事先都不能预测其结果，这反映了随机试验结果的出现具有偶然性；但如果进行大量重复试验，所出现结果又具有某种规律性，正是这种规律性使得在研究中有可能构造一个精确的数学模型，利用这个模型可以分析这个试验．随机现象在大量试验中所呈现出的规律性，称为随机现象的统计规律性．事实上，随机现象的统计规律是随机现象本质特征的一种反映，因此，我们可以通过研究随机现象的统计规律来揭示随机现象本质特征．例如，检验从同一个工厂来的大量灯泡，那么大体上寿命超过100h的灯泡数目可以相当精确地预报出来．

1.3.1 概率的定义

从上节可以看出，古典概率的计算要求试验满足有限性与等可能性，这使得它在实际应用中受到了很大的限制，为此，人们根据随机现象的统计规律性引入了概率的统计定义．例如，抛硬币试验．重复地抛一枚匀称的硬币，虽然正面和反面会以几乎完全偶然的形式相继出现，但根据前人经验总结，在大量的抛掷以后出现正面和反面的比率将大致相等．历史上有很多数学家做过抛硬币的试验．表1.2就是几位数学家做试验的结果．

由表1.2可以看出，试验中出现正面次数与抛硬币次数的比值随着试验次数越来越多时，越来越靠近0.5，表现了很强的规律性．

1. 频率与概率

定义1.3　在相同的条件下，重复进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率（Frequency），并记为fn（A），即．

随机现象的统计规律性表明，随着试验次数的增加，事件A出现的频率fn（A）

会稳定在某一常数p附近，即频率的稳定值，这个频率的稳定值就是事件A发生的概率．

定义1.4　设E是随机试验，Ω是它的样本空间，A为它的一个事件．如果随着重复试验次数的增加，A出现的频率在0与1之间某个数字p附近摆动，则定义A的概率为p，记为P（A）（显然P（A）是一个集合函数），称这样定义的概率为统计概率，称概率的这样的定义为统计定义．

统计概率也有古典概率的3个性质，即有界性、规范性与有限可加性．

概率的统计定义对试验不作任何要求，它适合所有试验，也比较直观．但是在数学上很不严密．因为其依据是重复试验次数很多时频率呈现出的稳定性．其中何谓“很多”？“摆动”如何理解？“p”如何确定？都没有严谨的说明．

人们又重新审视概率的这些定义，找出共同的本质的特征，给出了概率的公理化定义．

2. 概率的公理化定义

定义1.5　设E是随机试验，Ω是它的样本空间，A为它的一个事件，定义一个实数值P（A）满足：

（1）非负性：P（A）≥0；

（2）规范性：P（Ω）＝1；

（3）可列可加性：若A1，A2，…两两互不相容，有

则称P（A）为事件A的概率．

由概率的公理化定义知，概率是事件（集合）的映射，当这个映射能满足上述公理的三条，就被称为概率．

从古典定义到统计定义再到一般的公理化定义，揭示了一般的研究规律，从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象．

1.3.2 概率的性质

由概率的定义和事件之间的关系，可以推得概率的一些重要性质．

性质1　P（Ø）＝0．

因为P（Ω）＝1，所以P（Ø）＝1－P（Ω）＝0．

性质2　（有限可加性） 若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则

P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

上式称为概率的有限可加性．

性质3　设A1、A2是两个事件，若A1⊂A2，则有

P（A2－A1）＝P（A2）－P（A1）．

证　由A1⊂A2，知A2＝A1＋（A2－A1），且A1（A！－A1）＝Ø，再由概率的有限可加性得P（A2）＝P（A1）＋P（A2－A1），即

P（A2－A1）＝P（A2）－P（A1）．

推论1（单调性）　设A1、A2是两个事件，若A1⊂A2，则有P（A2）≥P（A1）．

证　由概率的非负性知P（A2－A1）≥0，所以有P（A2）≥P（A1）．

推论2　对于任意一个事件A，P（A）≤1．

证　因为A⊂Ω，所以P（A）≤P（Ω）＝1．

性质4（逆事件的概率）　对于任意一个事件A，有

P（Ā）＝1－P（A）．

证　因A＋Ā＝Ω，且AĀ＝Ø，于是1＝P（Ω）＝P（A＋Ā）＝P（A）＋P（Ā），所以

P（Ā）＝1－P（A）．

性质5　对于任意两事件A1、A2，有

P（A1－A2）＝P（A1）－P（A1A2）．

性质6（加法公式） 　对于任意两事件A1、A2，有

P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）．

证　因A1＋A2＝A1＋（A2－A1A2），且A1（A2－A1A2）＝Ø，A1A2⊂A2，由性质2和性质3得

P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2－A1A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）．

此加法公式还能推广到多个事件的情况．

推论3（半可加性）　对于任意两事件A1、A2，有

P（A1＋A2）≤P（A1）＋P（A2）．