命题XIII 问题VIII

使一个物体在一抛物线的周界上运动；需求趋向这个图形的焦点的向心力的定律。

保留引理的作图，且设P是在抛物线的周线上的物体，并由它移动到下一处的位置Q，引QR平行于且QT垂直于SP，又Qv平行于切线，交直径PG于v，又交距离SP于x。现在，由于相似三角形Pxv，SPM，一个［三角形］的边SM，SP相等，另一个的边Px或QR和Pv相等。但由《圆锥截线》，纵标线Qv的平方等于通径和直径的截段Pv之下的矩形，亦即（由引理XIII）矩形4PS×Pv，或4PS×QR；又当点P和Q重合时，Qv比Qx之比（由引理VII系理2）将成为等量之比。所以在这一情形Qx_quad.等于4PS×QR。但（由相似三角形QxT，SPN）Qx_q比QT_q如同PSq比SN_q，这就是（由引理XIV系理1）如同PS比SA，亦即，如同4PS×QR比4SA×QR，且由此（由《几何原本》第V卷命题IX）QT_q和4SA×QR相等。对这些等量乘以（SP_q）/（QR），则（SP_q×QT_q）/（QR）等于SP_q×4SA：所以（由命题VI系理1和系理5）向心力与SP_q×4SA成反比，亦即，由于4SA给定，按照距离SP的二次反比。此即所求。

系理1 由以上的三个命题得出，如果任意物体P沿任意直线PR，以任意速度离开位置P，并且同时受到与位置离中心的距离的平方成反比的向心力推动，这个物体在焦点在力的中心的某一圆锥截线上运动；且反之亦然。因给定焦点，切点和切线的位置能画出一条圆锥截线，它在那个点有给定的曲率。但由给定的向心力和物体的速度，曲率被给定：两个彼此相切的轨道不可能由相同的向心力和相同的速度画出。

系理2 如果速度，物体以它离开位置P，使得能在极短的时间小段画出短线^（16）（lineola）PR；同时向心力在同一时间能使这个物体的运动通过空间QR：则这个物体在某一圆锥截线上运动，其主通径是那个量（QT_q）/（QR）当短线PR，QR减小以至无穷时的最后结果。在这些引理中我将圆归之于椭圆，但我排除物体一直下降到中心的情形。