2.2 声场传播模型

2.2.1 理想流体介质中的波动方程

声波在水介质中的传播过程是一种波动过程，求解波动方程及其初始条件和边界条件，可以得到波动方程的唯一确定解。假定海水为理想流体，声波为小振幅波，理想流体介质中的波动方程可以从质量守恒方程、欧拉方程（牛顿第二定律）和绝热状态方程导出。仅保留流体动力学方程的一阶项，并且假设密度不随空间变化，得到的线性波动方程为

式中，▽²为拉普拉斯算子，c为介质声速，t为时间， p为声压。定义速度势φ和位移势ψ分别为

式中，v和u分别为速度向量和位移向量。则速度势和位移势满足如下波动方程：

位移势ψ与声压p的关系为

式中，ρ为水的密度。

考虑位置r₀处存在声源激励 f （r₀，t），则式（2-5）给出的波动方程可以写为

由于方程中的两个微分算子系数均与时间无关，所以波动方程的维数可以利用傅里叶变换减少到三维，得到相应的Helmholtz方程：

式中，ω表示声源角频率， k（r）=ωc（r）为波数。齐次Helmholtz方程为

虽然求解 Helmholtz 方程比求解全波动方程简单一些，但是这种简化是以必须求解逆傅里叶变换为代价的。

波动方程的定解条件包括边界条件和初始条件。对于简谐过程，不需要初始条件。在声场问题中，边界条件反映了边界（用Σ表示）对波动影响的物理过程，规定了波函数在边界上满足的已知的关系式。一些常见的边界条件如下：

（1）绝对软边界，又称为声压释放边界，此时的界面不能承压。对平静的海面，可以使用此边界条件。在边界面上的声压为

称为第一类齐次边界条件。

（2）绝对硬边界，此时边界上的质点法向振速为 0。对平坦的岩石海底，可以近似使用此边界条件。在边界面上的质点法向振速为

称为第二类齐次边界条件。

（3）阻抗边界，此时声压与质点法向振速互为约束，满足线性关系。对于淤泥质海底可以使用此边界条件：

（4）声场连续边界，即介质分布有跃变的界面（ρ和c的有限间断），在界面两侧都存在声场，要求声场保持连续，即

其中，式（2-13）代表压力连续，否则就会出现质点加速度→∞；式（2-14）代表法向振速连续，否则就会出现介质的“断裂”。这两种物理现象都是不允许的。

（5）辐射条件。如果声场的问题中包括有无穷远点在内时，若在无穷远点没有附加条件，那么解也是不唯一的。在水声中的场问题经常是属于包括无穷远点的。例如，半空间海底之下的无穷远处，应具有发散波的行为，或者当介质有耗散时，在无穷远处声场应熄灭，相应于这种要求而提出的定解条件称为辐射条件或熄灭条件。

波动方程是一个二阶偏微分方程，仅在某些特定的边界条件下有解析形式的解。海洋介质连同它的海面与海底边界构成了一个非常复杂多变的水声信道，一般情况下寻找波动方程的解析解非常困难，因而常常需要引入合理的近似处理，求解波动方程的数值解。根据使用的特定几何假设及解的表达形式的不同，波动方程有着多种类型的数值解。常用的有以下 5 种：波数积分的“快速场程序”（FFP）模型、射线模型、简正波（NM）模型、抛物方程（PE）模型和全波动方程的直接有限差分（FD）解或有限元（FE）解。不同的理论模型适用于不同的应用场合，对应不同的信道模型。若一个模型允许海洋环境的水平变化，如倾斜海底，则称为“距离有关”模型。

根据假设的解的不同表达形式，代入波动方程中，再引入一定的近似处理，便得到了不同的模型。Etter^[129]总结了5种传播模型的表达形式，如图2-1所示。一般来说，不同的声场模型适用于不用的水声环境和研究对象。射线模型适用于分析解算高频条件下的声传播问题，计算速度快，可分析声线传播路径、多途到达时延和到达角等声线到达结构信息，物理意义明确；波数积分模型常用于处理弹性边界问题，而且通常作为精确解，但计算速度慢；简正波模型可以较好地应用于计算低频远场条件下的声传播问题，特别是在浅海环境中，模态较少，观察到的物理现象可以用简正波模型解释，计算速度快，但若在水平剧烈变化的水声环境中，需要利用计算量非常大的耦合简正波模型，效率较低；抛物方程理论可以较好地处理水声环境与距离有关的中低频问题，计算速度快，精度高，是目前应用最广的模型，但其物理意义不够明确。

下面分别对本书使用的3类主要的建模理论进行简要的回顾和数学推导。

2.2.2 射线模型

射线模型非常直观地描述声能量在介质中的传播，很早就被应用于水声学研究领域。该模型从式（2-9）的Helmholtz方程出发，假设波动方程的解ψ为一个幅度函数A=A（x， y， z）和一个相位函数P=P（x， y， z）的乘积，即ψ=Ae^iP。P一般称为程函方程。代入式（2-9）并分离实部和虚部，得到

式（2-15）为分离的实部，确定了射线的几何路径。式（2-16）为分离的虚部，称为迁移方程，确定了射线的幅度。上述的分离是基于幅度随位置的变化速度远低于相位随位置的变化（几何声学近似），或者表述为在一个波长范围内声波振幅（等价于声速）不能有大的变化，即假设

因此，式（2-15）简化为

一般称式（2-18）为程函方程。相同相位（P相同）的面称为波阵面，与其垂直的射线即声线。程函代表了声学路径长度，是路径两个端点的函数。当两个端点分别为声源和接收器时，称为特征声线。

值得指出的是，对于低频声源，其波长较长，声波在一个波长范围内的变化量也就加大。因此，射线模型适用于较高频率的声波，对于高频范围的定义没有一个明确的公式，只有一个指导公式，即

式中， f 为声源频率，H为海水深度，c为声速。

假设密度恒定，利用式（2-16）可以计算声压幅度，得到一条射线管内的能量守恒原理为

式中， A_i=A（x_i，y_i，z_i）， i=1，2，c₁和c₂为两个位置处的声速，dσ₁和dσ₂为两位置处射线管的横截面积。若dσ₂趋近于0（焦散点），则A₂趋近于无穷大。因此，基本的射线模型在焦散线（焦散点连成的线）上是无效的。但焦散问题仍然具有重要意义，因为高强度不仅出现在焦散线上，也出现在其周围。此外，声线通过焦散点时，会发生相位变化。若忽略相位变化，则会在以后的距离上引起误差，并且产生误差的地方离焦散点的距离可能是任意的^[58]。射线理论的另一个问题是声场计算结果可能会有绝对的声影区，即当某一区域没有声线通过时，声压场恒等于零。在实际中，声波会通过绕射等方式进入该区域，声压幅度要远大于射线模型计算结果。

2.2.3 简正波模型

简正波方法在水声学中已使用多年，早期被广泛引用的一篇文献出自 Pekeris^[130]，他提出了简单的两层海洋模型的理论。随着数值计算技术的迅速发展，简正波模型现在能够处理任意层数的液体层和黏弹性层的问题。因此，简正波模型在水声学中的应用越来越广泛。简正波模型需要求解与深度有关的特征方程，得到一组振动模式，这些模式大致上类似于振动弦的模式。振动的“频率”给出与模式传播相联系的水平波数。于是，将加权的每个模式的贡献叠加就构成了总的声场，权值为声源深度处相应模式的幅值。

简正波模型假设水声环境为圆柱对称的分层介质，即环境仅随深度变化。则在柱面坐标系下，假设波动方程的解ψ为一个深度函数F（z）和距离函数S（r）的乘积，即

将该式代入式（2-9），利用分离常数ξ²分离F和S，得到如下两个方程：

式（2-22）为深度方程，称为简正波方程，描述了波动方程解的驻波部分；式（2-23）为距离方程，描述了波动方程解的行波部分。因而，每个模态可以认为在距离方向上为行波，而在深度方向上为驻波。

简正波方程（2-22）形成了本征值问题，它的解是 Green 函数。距离方程（2-23）是零阶 Bessel 方程，它的解可写成零阶 Hankel 函数。简正波理论将波动方程的解表示成简正波展开和叠加的形式，并通过求解满足一定边界条件的简正波方程获取其本征值和本征函数。在柱坐标系下，由非齐次Helmholtz方程得到声压的简正波解表达式为^[58]

式中，ρ（z_s ）为声源处的介质密度，k_rm和u_m（z）分别为简正波的第m阶模态的本征值和本征函数。M 为波导中有效传播的简正波模态数。

简正波模态函数满足完备性和正交性，即

式中，D表示波导深度。

一般来说，计算远场声场时，所需计算的模态的水平波数为实数，且k_rm＞ω/c_bot ，其中c_bot为海底声速。将水平波数的实部小于ω/c_bot的模态称为泄漏模态，此时水平波数存在虚部，该模态的声能将泄漏并进入海底，无法实现远距离传播。在浅海环境中，近场一般在几百米以内，因而可以忽略泄漏模态对声场的影响。但在深海环境中，大出射角的模态虽然为泄漏模态，但是由于海深较深，泄漏模态的能量可传播至10km甚至20km。因此，在深海环境中，尤其是考虑可靠声路径和海底反射信号时，必须考虑泄漏模态的影响。

对于一定频率的声信号，仅有有限阶次的简正波可以在信道中有效传播。信号频率越低（或海深越浅），在信道中可以传播的简正波的阶次也越低，相应的计算量也会减少。因此，简正波模型在求解浅海低频声场时，具有精度高、运算量小的优点。事实上，在利用简正波模型求解声场时，频率也不能无限低。对于海底和海面都是压力释放界面的波导，第m阶模态的截止频率为

2.2.4 抛物方程模型

抛物方程方法可以追溯到20世纪40年代，被首先应用于对流层无线电波长距离传播的计算，之后被推广到微波波导环境、激光波束传播、等离子体物理和地震波传播。Hardin和 Tappert^[131]首先将抛物方程方法引入水下声传播。抛物方程模型在处理水平变化的环境问题时，计算精度和效率均较高。在深海环境中，若考虑水平变化水声环境下的低频传播问题，则抛物方程模型非常适用。若利用耦合简正波模型，则由于模态数较多，计算量将会非常大；而射线模型基于高频假设，无法计算声绕射（如表面波导的能量泄漏问题）等一些声传播现象。抛物方程模型的基本理论如下：

齐次Helmholtz方程即（2-9），可以变形为

式中，k₀=ω/c₀为参考波数，n（r）=c₀/c（r）为折射率，c（r）为位置r处的声速。将式（2-28）的拉普拉斯算子在柱坐标系下展开，得到柱坐标系下的Helmholtz方程：

寻求具有下列形式的解：

式中，S（r）强依赖r，u（r，z）则弱依赖r，将其代入式（2-29），并将k₀²作为分离常数，可得到两个方程如下：

式（2-31）为零阶贝塞尔方程，将其外向传播波的远场近似解代入式（2-32）后，得到

利用小角度假设

可得到式（2-32）的简化形式，即

这就是抛物方程。抛物方程的优势在于可以在距离方向上步进计算，而椭圆方程须在整个深度-距离平面同时求解。高斯场或简正波解可以用作抛物方程模型的初值。

还有一种广义的抛物方程推导方法如下：利用算子分解方法，假设下述算子互易成立，即

式（2-33）可分解为外向传播和内向传播的波（如后向散射的波），仅保留前一部分，最终可得下述单向方程：

对上式的平方根算子函数取不同的近似，可得到不同适用角度的方法，如窄角技术、宽角技术、甚宽角技术等。采用有理函数近似处理，即

将式（2-39）代入式（2-37），可得

当A，B，C，D的值分别为1，1/2，1，0时，即可得到式（2-35）的计算结果。

本书使用的RAM（Range-dependent Acoustic Model）^[132]为甚宽角技术，采用了Pade级数展开逼近平方根算子，即

当m=2时，可以得到宽角技术，有效角度约为55°，当m取更高阶时，有效角度可达90°。Collins^[132]指出，当m=5时，RAM可以有效地计算绝大多数水声传播问题。