2.2 大地坐标与地心坐标系的关系

当地球椭球定位和定向后，除建立大地坐标系外，还可相应建立空间直角坐标系。本节介绍的地心坐标系就是一种空间直角坐标系。

2.2.1 大地坐标至地心坐标系转换

地心坐标系定义如下：坐标系原点在地心O_e。O_eX_e在赤道平面内指向某时刻t₀的起始子午面（这里取格林尼治天文台所在的子午面），O_eZ_e垂直于赤道平面指向北极。O_e-X_eY_eZ_e组成右手直角坐标系。由于坐标O_eX_e与所指向的子午线随地球一起转动，因此这个坐标系为一动参考系。

地心坐标系对确定火箭相对于地球表面的位置很适用。

显然，在同一个系统中，大地坐标系与空间直角坐标系本质上是一致、等价的，只是表示点位坐标的方式不同。在弹道、轨道测量和坐标系转换中，通常都采用空间直角坐标。这既简单、又方便。而表示点的地理位置，通常都采用大地坐标。因此，经常要应用此两种坐标系的转换公式。

取地球外任一点P，其大地坐标为B、L、H，地心系坐标为X、Y、Z。为便于推导两种坐标转换，先将地心O_e与点P所在大地子午面提取出来，如图2.2-1所示。

图2.2-1 子午圈平面坐标

图2.2-1中，P′为过点P法线与椭球面的交点；X′轴沿P′点所处子午面与赤道面交线方向，Z轴与地心坐标系指向相同，则在此子午面内建立平面坐标系O_e-X′Z，点P、P′的直角坐标可记为x、z、x′、z′。

过点P′做子午圈切线TP′，易知，TP′与X′轴夹角为90°+B。由解析几何可知，该夹角正切值为切线TP′的斜率，即

又由P′在以O_e为中心的子午椭圆上，则其直角坐标x′、z′满足下面方程

式中，a、b分别为地球椭球体长、短半轴。

将式（2.2-2）两端对x′取导数，得

将上式与式（2.2-1）比较可得

式中，，e为椭球第一偏心率。

由式（2.2-4）可得

将上式代入式（2.2-2）得

用a²cos²B乘上式两边，得

考虑到B∈［-90°，90°］，即cosB≥0，则由上式可知

将上式代入式（2.2-5）可得

由图2.2-1易知

不妨记

则由式（2.2-8）～式（2.2-10）可知P点的直角坐标为

由图2.2-1所示并结合式（2.2-11）易知，P点的地心坐标系坐标为

2.2.2 地心球坐标及其与大地坐标、地心直角坐标的关系

在弹道中，还经常用到球坐标系，如箭下点和星下点的坐标。球坐标系也是在地球椭球定位和定向后，相应于大地坐标系和空间直角坐标系而建立的。其坐标原点是地球中心，坐标面是起始大地子午面和赤道面。

表示空间一点P的地心球坐标：

1）地心矢径。地心到P点的矢量称为地心矢径，其距离用符号r表示。

2）地心纬度。P点的地心矢径与赤道面的夹角称为地心纬度，用符号ϕ表示。

3）地心经度。P点的大地子午面与起始大地子午面的夹角称为地心经度。此定义与地心大地经度相同，故仍用符号L表示，即L=L。

易得地心球坐标与地心直角坐标的关系

由上式可得反算公式：

由式（2.2-12）和式（2.2-14），可得地心球坐标与大地坐标的关系式：

由上式可得反算公式：