2.5 惯性坐标系

前已述及，研究火箭运动的规律一般是以发射坐标系作为基本参考系进行的，而火箭飞行加速度和姿态角，则是以固连于惯性平台上的惯性坐标系为基准进行测量的，因此建立惯性坐标系与发射坐标系和箭体坐标系之间的关系，就显得非常必要了。

2.5.1 惯性坐标系定义

惯性坐标系O_I-X_IY_IZ_I是以惯性空间为参考而定义的坐标系。该坐标系在火箭起飞瞬间是与发射坐标系O_f-X_fY_fZ_f重合的。火箭起飞以后，固连于地球上的发射坐标系随地球旋转而转动，而惯性坐标系之坐标轴却始终指向惯性空间的固定方向，即与固连于惯性空间的陀螺平台上的各坐标轴保持一致。因此，惯性坐标系也称初始发射坐标系或平台惯性坐标系，它的定义与发射坐标系定义完全相同。

有时，为简化需要，惯性坐标系也记为O-XYZ。

2.5.2 惯性坐标系与发射坐标系的关系

图2.5-1中，O_I-X_IY_IZ_I为惯性坐标系；B₀、A₀分别为发射点大地纬度和大地瞄准方位角；O_f-X_fY_fZ_f为发射坐标系，发射瞬时它与惯性坐标系重合，其后随地球旋转而转动，在火箭起飞后的t时刻，发射坐标系相对惯性坐标系的旋转角度为ω_et，其中ω_e为地球自转角速度。

为讨论方便，引入随地球旋转的空间直角坐标系和不随地球旋转的空间惯性直角坐标系。空间直角坐标系定义与地心坐标系类似，只是将O_eX_e由在赤道平面内指向格林尼治天文台所在的子午面改变为在赤道平面内指向发射点O_f所在的子午面（见图2.5-1），所以仍记为O_e-X_eY_eZ_e。火箭起飞瞬间，空间惯性直角坐标系和空间直角坐标系重合，其后O_e-X_eY_eZ_e随地球一起转动。火箭起飞后的t时刻，坐标轴O_eX_e与之间相差ω_et角度。

图2.5-1 惯性坐标系与发射坐标系的关系

显然，如图2.5-1所示，惯性坐标系与发射坐标系的关系可由以下矩阵组成。

（1），惯性坐标系O_I-X_IY_IZ_I至空间惯性直角坐标系

空间惯性直角坐标系至惯性坐标系O_I-X_IY_IZ_I的转换矩阵相当于式（2.4-18）中L₀=0的情况，即

由正交矩阵的逆等于其转置，可以知道

（2），空间惯性直角坐标系至空间直角坐标系O_e-X_eY_eZ_e

（3），空间直角坐标系O_e-X_eY_eZ_e至发射坐标系O_f-X_fY_fZ_f

这个转换矩阵就是式（2.4-18）中L₀=0的情况，即

显然，由式（2.5-2）～式（2.5-4）可知惯性坐标系至发射坐标系方向余弦矩阵：

不妨设火箭质心m在惯性坐标系下坐标为（x_Iy_Iz_I）T，则由式（2.4-14）和式（2.5-5）可得到火箭质心m在发射系下坐标：

式中，中元素如下：

由于地球自转角速度大小ω_e为小量，火箭主动段飞行时间也不很长，因而常将中元素表达式作如下简化：

将cosω_et及sinω_et展开成泰勒级数为

略去三阶及其以上高阶项，得

注意地球自转角速度矢量在发射坐标系投影（见图2.5-2）为

综合利用式（2.5-7）和式（2.5-8），中元素可简化为

图2.5-2 地球自转角速度矢量在发射坐标系的投影

如果只考虑cosω_et及sinω_et泰勒级数的一阶项，则可进一步简化为

2.5.3 惯性坐标系与箭体坐标系的关系

前面定义并讨论了火箭相对于发射坐标系的3个姿态角φ、ψ及γ，以及发射坐标系与箭体坐标系间的关系。但是箭上控制系统的测量元件在测量火箭飞行姿态时并不是以发射坐标系为基准，而是以惯性坐标系为基准。因此，由箭上测量元件测出的姿态角是相对于惯性坐标系的姿态角。类似φ、ψ及γ的定义，把箭上测量元件测出的姿态角用φ_T、ψ_T及γ_T表示，且分别称为相对惯性坐标系的绝对俯仰角、偏航角和滚动角。

由于惯性坐标系与箭体坐标系间的关系和发射坐标系与箭体坐标系间的关系相似，因而只要将发射坐标系与箭体坐标系间的方向余弦矩阵［即式（2.4-9）］中的φ、ψ及γ换为φ_T、ψ_T及γ_T，即可得惯性坐标系至箭体坐标系的方向余弦矩阵：

2.5.4 惯性系姿态角与发射系姿态角的关系

惯性坐标系与箭体坐标系的坐标转换矩阵，是直接比拟发射坐标系与箭体坐标系转换矩阵［即式（2.4-9）］得到的。实际上也可由惯性坐标系与发射坐标系转换矩阵和发射坐标系与箭体坐标系转换矩阵，间接导出惯性坐标系与箭体坐标系间的转换矩阵，即

式中，为示发射坐标系与箭体坐标系间的方向余弦矩阵；为惯性坐标系与发射坐标系的方向余弦矩阵。

不妨设中元素为d_ij，i，j=1，2，3。由式（2.5-11）和式（2.5-12）可得

通常情况下，根据火箭的姿态角范围，φ_T、ψ_T及γ_T可表示为如下形式：

式（2.5-13）所给的姿态角公式，在一般意义上是正确的，不过需要结合实际情况，具体问题具体分析。

下面推导其简化形式。

通常情况下，火箭相对惯性坐标系之偏航角ψ_T及滚动角γ_T均比较小，可近似认为sinψ_T≈ψ_T、sinγ_T≈γ_T、cosψ_T=cosγ_T≈1，因此，当略去ψ_T与γ_T乘积项后，式（2.5-11）可表示为

同理，一般情况下，角度ψ、γ相对角度φ来说是小量，因此也可近似认为sinψ≈ψ、sinγ≈γ、cosψ=cosγ≈1。这样，在略去ψ与γ乘积项后，式（2.4-9）可简化为

注意到式（2.5-10）和式（2.5-15），则

考虑到ω_e为小量，在略去地球自转角速度分量与ψ、γ的乘积情况下可得到中元素d_ij，i，j=1，2，3。d_ij为

综合式（2.5-12）、式（2.5-14）、式（2.5-16）有以下等式：

由于地球自转角速度分量ω_ez甚小，运载火箭在主动段的飞行时间也不太长，因而角度ω_ezt很小（约0.42°～1.25°），可近似认为ω_ezt≈sinω_ezt、1≈cosω_ezt。于是有

即

这样，箭体坐标系相对惯性坐标系的姿态角φ_T、ψ_T及γ_T与箭体坐标系相对发射坐标系的姿态角φ、ψ及γ的关系即可表示为