第三章
根据选票结果分配席位的立方法则

科拉·斯特拉姆

一、译文及简要解释

“在选举过程中，如果两个政党围绕同一席位展开角逐，则这两个政党赢得这一席位的概率可以通过他们在普选中得票率的立方数大致计算出来”（Taagepera 1973，p.257）。

本文旨在阐释立方法则（Cube Law），它指的是“在竞选结果中的立方比例”，它揭示了单议席选区（one-seat constituencies）中投票数与席位数间的实证联系。最初该法则是一种统计结果而不是基于演绎的理论范式，因此它不能代表一种完美而准确的关系。

立方法则的有效性受到单议席选区选举的两党政治现状的限制（如在国会、市议会或其他竞选中）。在这种情况下，每个政党的席位比例可以根据两党的选票率计算出来。例如，假若两党获得选票的比率是3:2（一个政党获得60%选票，另一个政党得到40%），那么席位比例将是（3/2）= 27/8。换句话说，较大的政党将获得大约77%的席位，而较小的政党只剩下接近23%的席位。因而，在这种政党体系中，立方法则导致大党席位过多（相应的小党席位不足）的局面常态化。

二、背景

立方法则是选举和代议制度中的重要理论文献焦点，亦已成为政治学学科悠久传统中的一个重要部分。政党与选举行为的研究涉及不同的选举体系。立方法则的理论文献深植于民主理论中，并且成为最佳的民意表达途径。

立方法则具有很长的理论发展历程，其间许多人为之作出过贡献。就我们目前掌握的信息来看，英国政治人物詹姆士·帕克尔·史密斯率先于1909年在对皇家选举制度委员会（The Royal Commission on Systems of Election）的证词中对它进行过阐述。在作证时，史密斯声称该论述得到他的一名友人，著名数学家麦克马洪的大力协助（1909年5月19日）。史密斯提倡比例代表选举制度，并且利用立方法则来谴责不公平的英国选举体系。英国是目前唯一一个依然遵守并实行这种选举制度（即议会选举是单议席选区的多数选举制度）的西欧国家。

直到20世纪50年代，1950年1月7日的《经济学家》杂志（The Economist）阐述立方法则后，该法则才受到理论界的注意。当年晚些时候，《不列颠社会学刊》（British Journal of Sociology）上刊载了统计学家肯德尔和阿兰·斯图亚特的一篇文章，该文对立方法则进行了经典的科学论述。肯德尔和斯图亚特将史密斯发现的联系形成公式，也阐明了数学和实证方面的基本先决条件，他们还根据英国和美国的选举结果对立方法则进行了验证。之后，有关立方法则的研究均是以肯德尔和斯图亚特的文章为出发点的。1967年，道格拉斯·雷出版《选举法则的政治结果》（The Political Consequences of Electoral Laws）一书后，选举制度的规范和量化研究大约在1970年出现了重大突破，该主题下的各种理论文献试图把立方法则和它描述的各种关联类型加以量化。

三、公式化表述——准确定义

如前所述，立方法则的有效性仅存在于单议席选区的两党制体系中。

在对选举委员会的证词中，史密斯提出的限定条件是：仅仅在两党投票支持者“相对平均分配”的情况下，立方法则反映的这种现象方成立（Kendall and Stuart 1950，p.184）。如果大党和小党的得票率差距明显，那么大党所得席位将远远超出立方法计算所得。而在达到100%投票率之前，大党将在很长一段时间内垄断席位。还应引起注意的是，按照史密斯的理论，席位s数的比例（两党得票数称为A和B）将至少是A3比B3。因而指数大于3与立方法则的解释从广义上是一致的。

通过下列这些限定条件我们可以使立方法则形成如下的公式。

M_K/M_L=（V_K/V_L）3　（1）

M=席位数；V=投票人数；K和L代表两个政党。见Taagepera and Shugart，1989。

立方法则预示着在不同选区中投票者的某种重新分配。史密斯认为，立方法则与选区的大小无关，也就是说，它与投票人数无关（Kendall and Stuart 1950，p.183）。然而，在选区中两党的投票者并不是平均地或随意地在选区中分配。如果按照平均分配，那么，获胜的政党无论优势如何，将会取得所有的席位（这里作者假设两党在投票表决中总的或全局的差别至少与选区总数一样大）。换句话说，无论它在全国选举中的得票率是51%还是80%，获胜方将取得全部席位。这样一种结果与立方法则存在极为明显的矛盾。如果选民的数量相当大（比如，像英国议会下院一样），那么随机分配选区将产生一个几乎同样的结果。因而，在选区中随机分配政党支持者，所产生的结果将严重偏离立方法则。

肯德尔和斯图亚特确定了立方法则成立的三个先决条件：

1．实证条件：获胜政党的投票率反映在选区中形成一种正态分布（normal distribution）。

2．数学论据（作者所制定的）：政党投票率的重新分配有助于精确正态分布的出现。准确地说，这是一种算术平均值等于0.5和变化误差等于0.018 7的正态分布，这里，特定的选区数字反映两党之一所获得选票总数的比率。重新分配的对称性，使两个政党中以哪一个作为计算出发点的问题变得无关紧要。（March 1957）

3．实证论据：立方法则引入的变量，接近在英国和美国选举中不同选区所观测到的变量。（Kendall and Stuart 1950，p.191）

这些条件是彼此独立的，如果条件（1）和（3）在同一案例中同时适用，纯属巧合。

肯德尔和斯图亚特将上述的所有条件加以阐明，并公式化。他们发现和验证了立方法则适用于1935年、1945年和1950年的英国议会选举结果。立方法则在1944年美国的国会选举中却没有得到满意的验证，尽管如此，除了美国南方以外（那时南方处于民主党绝对控制之下），立方法则惊人地适用于美国国会选举。

四、普适性与可验证性——批评

肯德尔和斯图亚特的文章成为日后对立方法则研究的理论出发点。他们提出了属于立方法则的三个中心研究主题：

1．立方法则的统计学与数学基础，也是它的公式。

2．根据立方法则的假设，投票者重新分配的行为动因和解释。

3．可靠的实证依据。

肯德尔和斯图亚特已经涉及几乎所有立法法则的研究主题，以致之后的大多数研究均以他们提出的研究主题为基础。这一部分我们将集中探讨主题的第一和第二两点。可靠的实证依据将放在本章的最后部分讨论。

A．统计学公式与条件

立方法则令学人着迷之处在于统计公式与立方法则形成的条件。因为肯德尔和斯图亚特本身就是统计学家，在他们的推动下，许多后学者对完成表决力量与代议制关系的精确学术描述产生了浓厚的研究兴趣。在肯德尔和斯图亚特进行的早期研究工作中，尤其关注的问题是：1）是否已经查明了在选票分配和席位分配两者关系公式中的恰当指数（3）；2）是否将立方法则的地位与这种关系的其他统计模式（特别是线性模型）进行比较。

在1973年的一篇简明扼要的文章中，塔夫特把立方法则与线性回归模型（linear regression model）和对数单位模型（logit model）这两种可供选择的模式进行比较。线性回归模型可以用如下公式表述：

M=bV+a　（2）

这里，M和V分别代表一个政党的席位和投票人数，变量在这里是常数。因为多种多样的理由，塔夫特宁愿采用这一公式而不愿意使用立方法则。一个主要原因是立方法则假定存在一种令两党结果完全对称的选举制度，这意味着这种选举制度不是体制性地导致一个政党相对另一政党的优势。当然，这种假定与从多方面获得的数据并不一致，比如美国国会选举结果。通过线性回归模型可以分别计算出每一政党的得票结果，该模式因而赋予了两种有趣和直观的估计。回归系数（regression coefficient）b代表塔夫特所谓“摆幅率”（swing ratio）的概念，它也表示席位比率的上升等于按照设定单位（如1%）来统计选票率的增长。常数（constant）a给出一个偏差的量度标准，即该党是否需要多于或少于50%的投票，以获得50%的席位。

塔夫特的线性回归模型的一个内在缺陷是它在投票重新分配接近极点的情形下，能轻易地得出逻辑上不可能的席位数之论据（如在一个政党投票率接近0的情况下）。运用对数单位模型可以避免这个问题，但是该模型却未被运用在立方法则原始公式中。由于解释系数方面的困难，线性回归模型对研究者存在着非常不便之处。因此，塔夫特未将线性回归模型运用到实证研究中。

马奇是较早应用线性回归模型来解释投票数和席位两者之间关系的代表（March 1957）。马奇指出，在两政党获得的选票差距介于40%和60%之间的情况下，立方法则预示着投票率和席位率两者间的一种近似线性关系（linear relation）。立方法则在这种差距的情况下非常适用，它大致与函数（function）相等。

M=2,808V-0,904　（3）

然而，通过对选举结果的回归分析，可以轻而易举地检验得出假设与结果相悖的结论。

另一批研究者把立方法则进一步发展为曲线指数函数（curvilinear exponential function）。1981年，菲利普·A.施罗特（Philip Schrodt）宣称线性回归模型的有益之处可能在于席位重新分配的预期方面。然而他指出，更应确立立方法则是随机而非必然的假设。换句话说，应该期待实证数据与立方法则预示的关系出现偏差。然后，我们的问题是对这些偏差（剩余项）进行公式设定。但是，先前的理论研究缺乏对这一研究主题的关注。斯科德也质疑马奇和塔夫特方程式中常数a（constant a）的引入问题。他发展了五条理论公式来表示关于常数和剩余项的不同期望值。虽然关于立方法则的五条公式不能毫无保留地被认为正确，但是至少通过施罗特（Philip Schrodt）公式，以下的描述在理论上令人非常满意：

M=Vne　（4）

这里，n=3，e代表数是正态分布的。然而，这一公式并不是斯科德所做实证研究中最好的。

在部分与舒加特合作的著作中，塔格佩拉将立方规则加以普遍化（Taagepera 1973 and 1986；Taagepera and Shugart 1989）。这些学者更偏好将这种联系称为“立方规则”，因为他们所描述的关系比传统运用立方法则更没有规律（Taagepera and Shugart 1989，p.158）。塔格佩拉和舒加特指出，“立方规则”是他们提出的“多元竞选的席位-投票方程式”的一则特例。

M_K/ML=（V_K/VL）n　（5）

在这里，n在1和无穷大之间变化。如果投票率与席位率全然相称，n将等于1；如果相悖，则表现出一种“胜者囊括”的极端类型。塔格佩拉和舒加特进一步指出，在大多数竞选中，n要依靠两个因素：选区的数量与投票者的数量。设想一下在这样一种竞选制度下的两种极端状况，我们就更清楚他们的意图。如果选区数量与投票者数量相等，n必然等于1，席位率与投票率根据定义是相同的。相反，如果只有一个选区，但投票者的数量是无限的，n在这里也是无限大。按照这一方程式，n将获得一个合理的估算。

n=log V/log E　（6）

在这里，V等于投票者总人数，E等于选区总数。对于将产生合理结果的对数（logarithm）而言，它的任何一个基数（cardinal number）给分数的两部分提供同样的结果（Taagepera and Shugart 1989，p.165）。投票人数与选区人数之间存在关系是因为立方法则（或规则）在其中呈现出特有的有效性。此外，关于在方程式（6）中为什么n，V和E之间的关系应该是唯一的，塔格佩拉和舒加特没有给出强有力的论据，但他们进一步将立方法则的变量应用于实施比例代表制选举的国家，并发现n的数值通常略微大于1。（Taagepera 1986）

作为领头羊，加里·金的研究代表了基于塔夫特立方法则公式的另一潮流。前面已经论述过，塔夫特立方法则形成理论包括一种不变的计量偏差，用一种系数来表示“摆幅率”。加里·金和布朗宁于1987年发明了在统计学意义上更为满意的模型，并且计算出美国不同州议会选举的实际偏差。随后加里·金进一步发展这种模型，并运用于比例代表选举和多党制度中。

B．理论化的行为阐释

理论上，许多人创造的立方法则或乏味，或失败，这主要是因为令人信服的理论化的行为阐释尚未建立。因此，立方法则仍是一种统计上的巧合，虽然它可以帮助我们预测选区的重新分配，但我们仍然对为何导致该结果的政治过程一无所知。埃尔德斯维尔德于1951年、塔夫特于1973年都对立方法则进行了大量的批评。

如上所述，立方法则所阐释的在选区中特殊球型重新分配政党选票的模式是非常有缺陷的。肯德尔和斯图亚特认为，两种选择理论模型的解释都关注重新分配选票如何出现的问题，马奇于1957年提出这些模式都无法让人信服，就算它们可以解释看似正确的政治过程，却无法回答这种过程为何产生相应的结果。

对于这些过程，马奇于1957年作了最富创造力的贡献，他认为，两种连续的进程导致了基于立方法则的选区重新分配选票现象的出现：

1．关于建立和改变选区划分的政党内部博弈。

2．这种过程对于政党在单独选区中动员选票的后果。

在选区阵营分界线的划分中，两个政党都不担心会丢掉支持者云集的选区中的选票。马奇认为，这将导致两个政党在争取选区方面的能力几乎相等。然而，随之而来的是什么力量导致了比最初重新分配更为不平等的每一个相应选区的结果呢？事实上，在强势政党的支持者中，每一个选区都令他们感到倍受鼓舞；同时，弱势政党的支持者将陷入认命与绝望中，因此增加了他们最终改变投票政党或者弃权的趋势，这样两种情形在竞选结果中将可能比原来所期望的更为激烈。马奇所设想的图3.1显示了这两个过程的结果。在这一例证中，按照立方法则，这一结果可能是基于立方法则预示方差的一种选区分配。

图3.1表现了选区比例与工党在选区中实力的关系，其中x轴代表工党得票率，y轴代表选区的比例。在图中，水平轴上的虚曲线的最高点是0.5——也就是说，两党在50%±1的基础上等量大。小虚曲线有两个制高点：左边工党得票数少于50%（保守党占上风）；右边工党的得票数超过50%。两政党和投票者之间总压力的结果是由实线来表示的。

马奇的观点既无良好的理论根基，也无实证支撑，但是桑科夫和梅洛斯于1972年详细阐释了马奇关于政党内部博弈的观点。这些学者发展了一种更严格、有关两个政党既定资源分配的博弈理论模型。两个政党在已有既定数量的选民情况下，努力去赢得尽可能多的选民。我们可以设想这些资源就是政党的“铁票”（无法规劝他们改变所支持的阵营），如果该政党赢得大多数的选民，也就赢得了这场政党博弈。除非我们允许对选区实行混合策略，即每个政党预分配了选区资源而非进行有既定风险的概率分配，这场博弈将没有平衡解决方案。在混合策略和相同数目选区（超过100个，按照作者的观点）的条件下，政党博弈的结果可以导致一个相当接近于“平方法则”的解决方案，即一个“摆幅率”等于2的结果。假设这些投票者分化成“铁票”和“不稳定的投票者”，那么两党将集中他们的精力去争取后者，结果也许是一个高的“摆幅率”。例如，假设“铁票”占全部投票者的三分之一，那么，政党博弈的结果与立方法则的预测相吻合。

我们将得出这样一个结论：桑科夫和梅洛斯的博弈理论分析更适合惯例，以至于近年来的相关文献都未能拿出比他们更令人信服的方法去验证立方法则。因而，我们大体上须维持这样一个结论：立方法则的行为理论基础是薄弱的。

五、经验评估——结论

尽管已经进行了多种多样的关于立方法则的经验研究，除了塔格佩拉和舒加特试图将立方法则的变量应用于比例代表选举制中的案例，多数研究还是大多集中在实行单议席选区、真正或近似两党制，且讲英语的国家中的国会选举。

肯德尔和斯图亚特在研究英美大选中取得了丰硕成果，可是，后来的研究工作则出现了一些偏差。同样致力于研究1950年英国下议院大选的埃尔德斯维尔德所得出的结论与肯德尔和斯图亚特相差更远。埃尔德斯维尔德于1951年指出工党获得31个席位太少，同时保守党获得19个席位太多。这些选举结果比为肯德尔和斯图亚特提供研究基础的选举更具说服力。另一方面，马奇在1957年则提出埃尔德斯维尔德的条件和其他对立方法则的批评都非常过激。

马奇将他的线性回归模型运用于1935年到1955年之间的五次英国下议院竞选中，并得出了下面关于保守党的选举结果：

M=2.77V-0.87　（7）

正如公式（3）中所提到的那样，这样的结果是非常接近立方法则预期的结果的，马奇同时也引用了在美国国会选举的分析结果加以验证。达尔于1956年也得出了和立方法则非常一致的结果。然而，在美国的案例中，马奇却发现了出现偏差的研究结果，并揭示了选区分布和政党势力有关系（民主党在南部州有优势），因此结果更接近一种泊松分布（poisson distribution）而不是立方法则假设的正态分布。早期的研究从新西兰（Brookes 1954）和加拿大（Qualter 1968）变化的结果中也发现了有悖于立方法则的选举结果。

塔夫特拓宽了他的线性模型，并运用到更广泛的研究材料中，包括：英国（1945—1970），新西兰（1946—1969），美国（1868—1979），美国的密歇根州（1950—1968）、新泽西州（1926—1967）和纽约州（1934—1966）。只有在对英国的研究中他发现“摆幅率”大约等于3，以及“偏差”等于0的案例，这与立方法则的数据相一致。所有其他的体系均有“摆幅率”低于3和“偏差”不等于0的明显特征，也就是说，占优势政党的超额代表人数低于立方法则所预示的数量，而且这是其中一个政党的体制缺陷（在美国指共和党）。塔夫特因此建议用“一个政党的1%投票数字的变化将产生2.5%选区数字的变化”的近似规则来替代立方法则（Tufte 1973，p.546）。拉克索认为这条近似规则更适用于英国的实际情况。根据考尔特对整个1900—1974年间的英国下议院选举所作的研究，发展了多党版本立方法则（multi-party version of the Cube Law），拉克索得出了这一结论。伯纳姆于1974年对塔夫特的美国数据（1874—1972年）作过研究，并且最终指出除了南方和边疆各州，立方法则非常适用于美国状况。

伯纳姆提出了这样的回归公式：

M=2,808v-0.920　（8）

这就接近于公式（3）的期待值，而且是在读者所接受的范围内的。

施罗特于1981年使用得自澳大利亚（1910—1974）、新西兰（1946—1972）、英国（1924—1974）、南非（1929—1970）和美国（众议院，1866—1974）的相关数据，在5个随机的案例中验证立方法则。

他发现5个典型案例中的4个和立方法则预测相符，指数都等于3，且立方法则在新西兰和英国的案例中都有良好的解释潜力。除了有太多政党参加的1943年竞选以外，澳大利亚的案例也非常适合立方法则。至于南非和美国的分析产生了无效结果，也许可归结于这两个国家都存在许多候选人弃权的现象而造成的正常结果。

如上所述，塔格佩拉和舒加特（1989，p.166）所归纳的立方法则版本的主旨是席位——投票方程式的指数将根据投票者和选区的数目变化。这种设想的研究基础是期望找到新西兰、加拿大和美国的指数接近于3，同时英国（1965）的期望值是2.65。这些数据非常符合上面提到的结果。

随着时间的推移，在英国和美国选举研究的演进过程中，人们经常会发现“摆幅率”下降的现象。约翰斯顿于1984年，柯蒂斯和斯蒂德于1982年，以及巴特勒于1984年都声称，大约从1970年英国选举的结果开始，选举结果已更符合平方法则而不是立方法则，也就是说，席位——投票方程式中的指数已经下降到2左右。伯纳姆于1974年指出美国“摆幅率”有剧烈的下降，从1934—1942年间的3.7左右，下降至1964—1972年的1.5。伯纳姆于1974年试图解释美国政治中周期“重组”（realignments）问题。他寻求美国政治的周期性“重组”问题的一种解释。这样一种政治景观的变化开始后，在众多选区中的竞争将立即变得非常尖锐，但是当政党体系进入“成熟期”，更多的选区将受到一个或另一个政党的控制。随着时间的推移，这一趋势可以部分地归结于对选区分界线的有意识的操纵（欺骗）。但是在伯纳姆的理论中，附加的因素是必须解释1960年伊始“摆幅率”显著缩小的状况。

据我们所掌握的信息来看，没有人试图将立方法则运用于挪威选举的结果。挪威从未在单一议席选区制的同时实行两党制，因此与立方法则的先决条件相悖。最接近立方法则解释范围的是1906年挪威议会（国民大会）选举的案例。在刚引入单议席选区制度后不久，工党才得到15.9%的投票。仅仅计算自由党和联合党，而不考虑工党和其他小党赢得的投票和代表，我们可以验证席位分配是否符合立方法则。在1906年的竞选中，自由党在全国的得票率为45.4%（58.1%的两党投票制），而联合党的得票率则是32.7%（41.9%）。根据立方法则（n=3）的这种结果，108个选区将按照以下形式被两党所分配：自由党79个选区，联合党29个选区。另一方面，一个全部按比例的分配（wholly proportional distribution）（n=1）将会使自由党为63个选区，而联合党为45个选区。塔夫特法则中两个半百分点规则提供了第三种预测：自由党76个选区，联合党32个选区。最后一种平方法则（n=2）的结果是自由党71个选区，联合党37个选区。实际结果是自由党73个选区，联合党35个选区。对于自由党来说，有6个选区背离了立方法则，3个选区背离了塔夫特法则，两个选区背离了平方法则，10个选区背离了全部比例制法则。因此，平方法则或者塔夫特法则更加适用于挪威1906年选举这一案例。

结论：就与立方法则相关的理论文献和实证发现看，政治学在立方法则所述的实证案例方面取得了更大的进步，但仍未有对该法则令人满意的解释。立方法则可能带有和结构与时间条件相关的偶发性。投票人和选区数目有助于理解这种实证解读。然而，尽管我们对政治行为的理解目前仍不完善，但这将构成投票人数和席位数量关系的认识基础。

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