1.7　互换合约的定价与估值★★★

1.7.1　互换合约概念

互换合约（swap contract）：是指交易双方签订的在未来某一时期相互交换某些资产的合约。更准确地说，互换合约是当事人之间签订的在未来某一期间内相互交换一系列他们认为具有相等经济价值的现金流的合约。

互换合约产生的时间较短，但已经成为被金融机构广泛应用的衍生金融工具。

1.7.2　互换合约的种类

较为常见的互换合约有利率互换合约、货币互换合约以及权益互换合约。

·普通利率互换合约（plain vanilla）：是一种利率互换合约，具体是指固定利率与浮动利率相交换的合约。在该类互换合约中，我们不再称呼合约双方为多头方和空头方，我们称合约双方分别为固定利率支付方（fixed-rate payer）及浮动利率支付方［floating-rate（variable-rate）payer］。

·互换利率（swap rate）：可以被看作利率互换合约的价格，即合约中规定的固定利率水平。互换利率是使合约在初始时刻合约双方价值为0的利率。合约期间，合约双方的价值通常不再为0，合约一方将获利，而另一方将遭受损失。

·货币互换合约（currency swap）：可以被看作投资人以某一币种发行一只固定或浮动利率债券，并用其发行所得购买另一币种的浮动或固定利率债券的互换合约。

·权益互换合约（equity swap）：可以被看作投资人发行了一只固定或浮动利率债券，并用发行所得购买一只股票或股指的互换合约。

1.7.3　互换合约VS债券★

互换合约与债券具有一些相似之处：一份利率互换合约等同于发行固定利率债券的同时又购买了浮动利率债券。

李老师说

如何理解利率互换合约等同于发行固定利率债券的同时购买浮动利率债券这一命题呢？利率互换合约的固定利率支付方每期将根据合约约定支付一个固定利率利息，并收到一个浮动利率利息，假设在合约到期时，合约双方需要互换本金，则合约各期现金流如图8-33所示。

如图8-33所示，固定利率支付方每期支付固定利率利息，收到浮动利率利息，并且合约双方在合约到期时互换本金。那么固定利率支付方收到的浮动利率利息及本金可看作其购买了一只每期付息到期还本的浮动利率债券，而其支付的固定利率利息及本金可看作其发行了一只每期付息、到期还本的固定利率债券。

将互换合约等效为债券方便我们理解互换合约定价及估值背后的重要原理，因此，考生需对这一知识点透彻理解及掌握。

1.7.4　利率互换合约的定价

利率互换合约（interest rate swaps）：是指针对同一种货币，将其固定利率现金流和浮动利率现金流之间进行交换的合约。在利率互换协议中，合约一方在支付固定利率利息的同时收取浮动利率利息，而合约另一方在支付浮动利率利息的同时收取固定利率利息（支付固定利率并收到浮动利率）。

合约方：是指衍生金融工具交易中的参与者之一（见图8-34）。

1.利率互换合约产生的原因

利率互换合约产生的原因是比较优势的存在。

比较优势（comparative advantage）：可以理解为交易双方在自己的各种借款方式中选择能使生产利益最大化的借贷方式（或绝对劣势最小的借贷方式），从而实现利益最大化。我们通过表8-6和图8-35以债券为例对比较优势进行说明。

表　8-6

现有两家公司，信用评级分别为AAA及BBB，这两家公司均可以以固定利率或浮动利率方式进行融资。由于AAA公司信用评级较BBB公司高，所以该公司在融资成本上较BBB公司具有绝对优势，即AAA公司固定利率融资成本10%及浮动利率融资成本LIBOR+0.3%均低于BBB公司的11.2%及LIBOR+1%。

假设AAA公司以固定利率进行融资，其融资成本较BBB公司节省1.2%（=11.2%-10.00%），若它以浮动利率进行融资，融资成本仅被节省0.7%（=1.00%-0.30%）。由此看出相较于BBB公司，AAA公司若以固定利率进行融资，其融资成本将更具优势，即AAA公司固定利率融资具有比较优势。同理，BBB公司以固定利率进行融资，其融资成本高于AAA公司1.2%，以浮动利率进行融资，融资成本高于AAA公司0.7%。相较于AAA公司，BBB公司以浮动利率进行融资，其融资成本方面的劣势较小，即BBB公司浮动利率融资具有比较优势。

假设两家公司由于特定原因需要以其比较劣势进行融资，即AAA公司需要以浮动利率进行融资，BBB公司需要以固定利率进行融资。若两家公司仍希望通过各自比较优势进行融资，那么就可以通过利率互换实现。其具体操作如下：AAA公司先以固定利率10%，BBB公司以浮动利率LIBOR+1%从银行进行融资，同时双方签订利率互换合约，假定合约规定AAA公司支付BBB公司LIBOR的浮动利率，同时收到BBB公司支付的10%固定利率，BBB公司支付AAA公司10%的固定利率，同时收到AAA公司支付的LIBOR浮动利率。

在这些假设条件下，AAA公司虽然从银行以固定利率10%进行融资，但通过利率互换协议AAA公司实际支付的是浮动利率，并以LIBOR为成本进行融资（10%-10%+LIBOR），这也实现了它的融资要求。BBB公司虽从银行以浮动利率LIBOR+1%进行融资，但通过利率互换协议BBB公司实际支付固定利率，以11%（=LIBOR+1%-LIBOR+10%）为成本进行融资，它同样也实现了其融资要求。

2.利率互换合约的定价

普通利率互换合约（plain vanilla swap）：是指将固定利率与浮动利率进行互换的合约。在利率互换协议中，一方支付固定利率的利息同时收取浮动利率的利息，而另一方支付浮动利率利息收取固定利率利息。

普通利率互换合约的价格为约定的固定利率（fixed rate），也叫互换利率（swap rate）。互换利率是使合约初始时价值为0的利率。

由于浮动利率债券初始价值等于其面值，因而我们可以依据合约初始时固定利率债券面值等于浮动利率债券面值这一特点进行求解。我们用字母C代表付息期为n期的固定利率债券的票面利率（假设债券面值为1），那么：

·1=C×B1+C×B2+C×B3+…+C×Bn+1×Bn

·由此，可以计算出：

·Bn是使n期现金流现值之和为1的各期折现率，我们称其为折现因子（discount factor）。

·计算所得的固定利率C是合约中两次互换行为间的期间互换利率，因此我们需要将其进行年化，以求得年化的互换利率。

我们还是通过画图法进一步理解普通利率互换合约定价的计算方法（见图8-36）。★

这里我们约定互换合约支付方（payer swap）或互换合约收到方（receiver swap）均针对支付或者收到固定利率的一方而言。这也意味着，互换合约支付方即固定利率支付方，互换合约收到方即固定利率收到方。

首先，有以下三点注意事项需说明。

·由于利率互换合约双方所持货币币种相同，利率互换合约在合约初始时，即t=0时刻，合约双方无须交换本金。

·在各互换交换日，即t=90，180，270，360时，合约双方以现金净额进行结算；这是由于净额结算可以降低合约双方支付的金额，从而有效降低合约的信用风险。

·由于合约初始时，合约双方未进行本金交换，因此合约到期时，双方也无须交换本金。

由图8-38可知，互换支付方在t=90，180，270，360时，分别按照合约固定利率C支付固定利息，同时以浮动利率f1，f2，f3，f4收到浮动利息。

互换中的浮动利率均为节点利率，合约双方在t=0时刻能已知t=90时的浮动利率f1。同理，在t=90时刻合约双方才已知t=180时刻的浮动利率f2，在t=180时刻，合约双方才能知道t=270时的浮动利率f3，在t=270时刻，合约双方才知道t=360时的浮动利率f4。那么我们在求解t=0时利率互换合约的价格时，仅对t=90时刻的浮动利率f1已知，剩余f2，f3，f4均未知。所以我们无法通过对发生在t=90，180，270，360现金流净额进行折现的方法求解t=0时刻利率互换合约的价格，但是如前所述，利率互换合约的支付方可以等效为发行一只固定利率债券的同时，投资一只浮动利率债券；据此，我们便可以通过浮动利率债券的相关特征求解合约价格（见图8-37）。

我们假设互换合约支付方需在合约到期时归还发行固定利率债券本金1，收到浮动利率债券本金1。浮动利率每期息票率（coupon rate）是浮动的，在各付息期，息票率都会回归市场利率（interest rate），此时，债券的价格也将回归债券的面值1。

·互换支付方收到的现金流（向上箭头表示）。

将t=360时收到的现金流（浮动利率债券利率f4及本金1）以f4为折现率折现至t=270，即。同理，再将t=270，180，90时收到的现金流分别往前一期进行折现，图8-37中的PV3，PV2，PV1。由此求得互换合约支付方在t=0时刻，收到现金流的现值就是1。

·互换支付方支付的现金流（向下箭头表示）。

各时点支付现金流需参照t=0时刻时，第90天、180天、270天、360天的LIBOR，以单利形式进行折现，即L90，L180，L270，L360。我们约定这些折现率均已以折现因子Bn的形式表达。以90天LIBOR为例，其折现因子为。

由此求得互换合约支付方各期支付现金流在t=0时刻现值为P（fixed）=C×B90+C×B180+C×B270+（1+C）×B360。

·因为t=0时合约价值为0，即支付现金现值等于收到现金现值得到C×B90+C×B180+C×B270+（1+C）×B360=1。

从而求得。

·通过上述步骤求解的互换利率C，并不是我们利率互换合约的价格。我们还需对其进行年化处理以求得利率互换合约的价格，即。

李老师说

这里需注意区分，实务中的利率互换合约无论合约开始或合约到期，均不需要进行本金交换，这里我们是从计算的角度进行考虑，将互换合约等效为债券，假设其有了本金交换。

【例题】

计算期限为1年的按季付息的单纯利率互换合约价格。LIBOR为R（90天）=2.5%；R（180天）=3%，R（270天）=3.5%，R（360天）=4%（见图8-38）。

解答：

（1）计算折现因子：

B1=1/（1+2.5%×90/360）=0.9938

B2=1/（1+3%×180/360）=0.9852

B3=1/（1+3.5%×270/360）=0.9744

B4=1/（1+4%×360/360）=0.9615

（2）计算期间互换利率C

C=（1-B4）/（B1+B2+B3+B4）

=（1-0.9615）/（0.9938+0.9852+0.9744+0.9615）

=0.98%

（3）计算年化互换利率：

互换利率=0.98%×360/90=3.92%

1.7.5　利率互换合约的估值

利率互换合约对于固定利率支付方的价值为合约期间固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差额（见图8-39）。

值得注意的是，在任意交换结算日，合约就能确定下一个支付日对应的市场利率（浮动利率），因此浮动利率债券的价值始终等于其面值金额。

我们仍然通过画图的方法对利率互换合约价值的计算加以说明（见图8-40）。我们仍沿用讲解利率互换合约定价时的例子，现在要求t=30时互换合约价值。

·计算折现因子。

求t=30时刻互换合约价值，须将各互换结算日的现金流折现至t=30。所用折现率分别为在t=30时刻已知的60天、150天、240天、330天的LIBOR。对应的折现因子分别为

B60=1/（1+L30（60）×60/360）

B150=1/（1+L30（150）×150/360）

B240=1/（1+L30（240）×240/360）

B330=1/（1+L30（330）×330/360）

·互换合约支付方收到的现金流（向上箭头表示）。

t=90为互换合约交换结算日，浮动利率债券价格回归面值，即为1，并且在t=0时合约双方就已知t=90时互换支付方收到浮动利率利息f90（注意去年化）。我们将在t=90时刻的两笔现金流（本金1以及浮动利息f90）以B60折现至t=30时刻，由此求得互换支付方收到现金流现值P（floating）=（1+f90）×B60。

·互换合约支付方支付的现金流（向下箭头表示）。

运用各互换结算时点所对应的折算因子，将互换合约支付方支付的各期现金流折现至t=30时刻。由此求得互换支付方支付现金流在t=0时刻现值为：P（fixed）=C×B60+C×B150+C×B240+（1+C）×B330。

·在t=30时刻，互换合约价值为：

Vpayer=（1+f90）×B60-［C×B60+C×B150+C×B240+（1+C）×B330］。若Vpayer大于0，说明互换合约支付方获利，反之互换合约支付方亏损。

李老师说

互换部分给出的利率数量较多，我们需区分清楚各个利率在求解过程中的不同作用。

1）t=0时刻已知的浮动利率f90，可以帮助我们确定在t=90时刻的发生的现金流的大小。因为在t=90时互换合约支付方将收到金额为f90的浮动利率利息（若浮动利率债券面值为1）。

2）在t=30时刻，所已知的60天、150天、240天、330天的LIBOR，是供我们用以求出相应折现因子折现的。

【例题】

计算普通利率互换合约固定利率支付方在t=30时刻的价值。已知该合约中的互换利率为3.92%，名义本金为＄100万。假设t=0时，LIBOR为R（90天）=2.5%，且t=30时刻LIBOR为R（60天）=3%，R（150天）=3.5%，R（240天）=4%，R（330天）=4.5%（见图8-41）。

解答：

（1）计算折现因子：

B1=1/（1+3%×60/360）=0.9950

B2=1/（1+3.5%×150/360）=0.9856

B3=1/（1+4%×240/360）=0.9740

B4=1/（1+4.5%×330/360）=0.9604

（2）计算互换合约支付方支付现金流的现值。

利率互换合约支付方每期需支付的票面利息为C=1×3.92％×90/360＝0.98％，则支付方支付的现金流的现值为：

P（fixed）=0.98%×（0.9950+0.9856+0.9740+0.9604）+1×0.9604=0.998767

（3）计算互换合约支付方付出现金流的现值。

在t=90时刻利率互换合约支付方式收到的浮动债券利息为f90=1×2.5%×90/360=0.625%，则支付方式付出现金流的现值为：

P（floating）=（1+0.625%）×0.9950=1.001219

（4）计算t=30时刻固定合约对于利率支付方的价值：

V=［P（floating）-P（fixed）］×面值

=（1.001219-0.998767）×＄1000000

=＄2452

1.7.6　货币互换合约的价值及估值★

1.货币互换合约产生原因

与利率互换产生的原因相同，货币互换（currency swap）产生的根本原因也是寻求比较优势。

例如，一家中国企业存在对美元借款的需求，而一家美国公司存在对人民币借款的需求。如果中国企业直接进行美元融资，美国企业进行人民币融资，则两者的融资成本都相对较高，双方可以通过货币互换来降低各自的融资成本，即如图8-42所示的货币互换合约流程。

·在t=0时刻，中国公司从银行融资，借入人民币；同时美国公司从银行融资借入美元。由于中国公司有美元需求，美国公司有人民币需求，因而双方需在合约初始时互换本金。由于在t=0时刻CNY/USD汇率为S0。假设合约中美元金额为＄1，则中国公司需借入人民币金额为￥S0。

·所以，由于合约双方的外币需求，在t=0时刻，中国公司借入本金￥S0支付给美国公司，并收到美国公司的等额本金＄1。

·在t=t时刻，合约双方需要进行利息交换。中国公司需要支付美国公司美元借款利息，同时收到美国银行支付的人民币借款利息，并将收到的人民币利息归还给银行。同理，美国公司支付人民币借款利息给中国公司，同时收到美元利息，并还给银行美元利息。

·值得注意的是，由于币种的不同，期间现金流的交割不以净额进行结算。

·在t=T时刻，中国公司支付美元借款本金给美国公司，同时收到美国公司支付的人民币借款本金，并将收到的人民币本金归还给银行。同理，美国公司支付人民币借款本金给中国公司，同时收到中国公司支付的美元借款本金，并将收到的美元本金归还给银行。

·合约结束时，合约双方不以合约结束时的汇率水平结算本金，而是以合约初始时的汇率水平结算本金，也就是说期末交换本金的金额等于期初交换本金的金额。

我们通过画图法将货币互换合约的现金流进行梳理，如图8-43所示。

·t=0时，双方交换本金。中国公司收到本金＄1，同时支付等值人民币本金￥S0。

·t=t时，双方交换利息。中国公司收到美国公司支付的人民币借款利息，同时支付给美国公司美元借款利息。

·t=T时，双方交换本金。中国公司需支付美国公司美元本金＄1，同时收到美国公司支付的初始人民币本金￥S0。

综上所述，合约双方各自按照其比较优势进行融资（中国公司借入美元，美国公司借入人民币），并通过货币互换合约满足各自外币需求（中国公司的美元需求，美国公司的人民币需求）。注意，货币互换合约的本质并不是为了对冲汇率风险，而是为了满足合约双方对外币融资的需求。

李老师说

我们总结利率互换合约与货币互换合约主要的三点区别，如表8-7所示。

表　8-7

2.货币互换合约的定价

互换合约的定价即指确定互换合约的互换利率，即合约中的固定利率的水平。在利率互换合约中，互换的情况是指相同币种下固定利率与浮动利率间的互换，并不会出现相同币种下固定利率与固定利率或浮动利率与浮动利率的互换。然而，由于在货币互换合约中，合约双方有着不同的币种的需求，所以这类合约将产生下列四种互换情况（仍以人民币与美元的货币互换合约为例）：

·￥C→＄C：人民币固定利率与美元固定利率互换。由于人民币的借款利率与美元的借款利率相互独立，因而两者互不影响。这种情况下的货币互换合约定价为人民币和美元各自的固定借款利率，即按照人民币、美元各自币种的借款现金流计算各自币种下的互换利率。

·￥C→＄f：人民币固定利率与美元浮动利率互换。由于浮动利率的价格即为结算时点浮动利率的即期利率，因此浮动利率一方无须被定价。那么，这种情况下的货币互换合约的价格即为以人民币计价本金的固定利率水平。

·￥f→＄C：人民币浮动利率与美元固定利率互换。同理，这种情况下货币互换合约的价格为美元的固定利率。

·￥f→＄f：人民币浮动利率与美元浮动利率互换。由于两种货币下的借款均为浮动利率形式，合约双方只需根据结算日即期浮动利率进行结算即可，不涉及价格计算。

3.货币互换合约的估值

如图8-44所示，我们在求解货币互换合约价值在t=30时刻的价值时，须对各时点现金流折现求和，但是为了统一币种的需要，我们须用t=30时刻的即期汇率对现金流折现之和的币种加以统一。

接下来，我们通过一道例题来具体讲解关于货币互换合约价值的求解过程。

【例题】★★★

现有美元与人民币的货币互换合约。合约初始时美元与人民币的汇率为0.147美元/人民币。

假设合约初始时美元的利率情况如下：

·L0（90）=3.5%

·L0（180）=4.0%

·L0（270）=4.5%

·L0（360）=5.0%

若合约初始时人民币的利率情况如下：

·R（90）=5%

·R（180）=5.5%

·R（270）=6.0%

·R（360）=6.5%

要求：

（1）请根据以上条件计算出美元和人民币的互换利率。

（2）假设美元的名义本金为1美元，请计算互换合约中人民币的名义本金。

（3）分别计算人民币和美元每期的固定利息。

（4）60天时，汇率变为0.143美元/人民币，美元利率情况如下：

·L60（30）=0.0375

·L60（120）=0.0425

·L60（210）=0.0475

·L60（300）=0.0525

合约签订60天后，人民币利率如下：

·R60（30）=0.0525

·R60（120）=0.0575

·R60（210）=0.0625

·R60（300）=0.0675

若美国公司进入的是支付人民币固定利率、收到美元固定利率的互换合约，计算此时美元公司合约的价值。

（5）若美国公司进入的是支付人民币固定利率、收到美元浮动利率的互换合约，计算此时美国公司合约的价值。

解答：

（1）求出美元对应的折现因子为：

·B0（90）=

·B0（180）=

·B0（270）=

·B0（360）=

求得美元期间固定利率为：

美元固定利率，即美元互换利率为。

求出人民币对应的折现因子为：

求得人民币期间固定利率为：

人民币固定利率，即人民币互换利率为。

（2）假设互换合约中美元的名义本金为1美元，那么互换合约中的人民币的名义本金为1/0.147=6.8（元）（根据期初时点利率为0.147美元/人民币）。

（3）每期的美元固定利率利息金额应为：

C＄=1×4.89%×90/360=0.0122（美元）

此处的固定利率就是我们先前计算出的美元互换利率4.89%。

每期的人民币固定利率利息金额应为：

C￥=6.8×6.32%×90/360=0.1074（元）

这里使用的固定利率应为先前计算出的人民币互换利率6.32%。

（4）计算美元对应新的折现因子为：

·B60（30）=

·B60（120）=

·B60（210）=

·B60（300）=

计算人民币对应新的折现因子为：

·B60（30）=

·B60（120）=

·B60（210）=

·B60（300）=

收到的美元固定利息为：

支付的人民币固定利息为：

用60天后的即期利率将人民币固定利息转为美元=6.8551×0.143=0.9803（美元）。

所以支付人民币固定利率，收到美元固定利率的互换合约价值=-0.9803+1.0059=0.0256（美元）。

（5）如果美国公司收到的是美元浮动利率利息，在t=90时刻收到的浮动定利率利息金额应为f90＄=1×3.5%×90/360=0.00875（美元）。这里所用的浮动利率就是在t=0时刻，90天美元浮动利率L0（90）=3.5%。

根据浮动利率债券的特点及B60（30）折现因子求得在t=60时刻美国公司收到的美元现值为：

所以支付人民币固定利率，收到美元浮动利率的互换合约价值=-0.9803+1.0056=0.0253（美元）。

李老师说

我们在计算货币互换协议的期间价值时，最好在合约期初（交换本金时刻）便根据期初汇率水平确定合约双方需要交换的本金金额，这样通过画图的方法容易一步到位地辨识清楚各类货币在各期应当交换的现金流金额。

1.7.7　权益互换合约的价值及估值

1.权益互换合约的定价

权益互换合约（equity swap）通常被分为以下三种形式。

·合约一方支付固定利率，收到对手方股票收益（equity return）。

·合约一方支付浮动利率，收到对手方股票收益。

·合约一方支付一只股票收益，收到对手方另一只股票收益。

由于只有第一种形式的权益互换合约涉及固定利率，因此我们只需计算第一种权益互换合约的价格。

权益互换合约期间互换利率的计算公式与普通利率互换合约计算公式相同，即为：

上述公式表明，由于合约初始时债券价值等于其面值，我们可以用票面利率为C的固定利率债券与债券面值相同的股票或股票指数进行互换。

李老师说

1）权益互换合约中的股票收益是指股票在合约期间的总收益（total return）。

2）股票收益有别于利率，投资者无法提前预知其未来的情况，因此股票收益只有在结算日当天才能确定，不能提前确定。

3）与其他互换合约不同，权益互换合约中可能出现一方仅存在支付，却不能获得任何收益的情况。

假设该合约为支付浮动利率收到股票收益的互换合约。在结算日，如果标的股票亏损，那么支付浮动利率的一方不但要按合同约定支付浮动利率，而且仍要将股票亏损部分一并支付给合约的对手方。

2.权益互换合约的估值

合约期间，我们可以通过计算固定或浮动利率，以及股票价值从而求得该互换合约对于合约双方的价值。接下来我们就通过一道例题，讲解一下权益互换合约估值的求解过程。

【例题】

现有权益互换合约，其年化互换利率为3.92%，并且名义本金为＄1000000。标的资产为当前1000点的股票指数。假设30天后该股票指数上涨至1100点，并且LIBOR的即期利率为：R（60天）=3%，R（150天）=3.5%，R（240天）=4%，R（330天）=4.5%（见图8-45）。

计算30天时固定利率支付方合约价值。

解答：

（1）收到现金流（向上箭头表示）。

假设初始股票本金为＄1，在t=30时刻股票指数由1000点上涨至1100点，则t=30，初始本金由＄1增加至。因此股票指数在t=30时刻的价值即为P（index）=×本金=×1=1.1。

股票指数在t=30时刻的价值无法提前知道，只有在t=30时刻才可知道。

（2）支付现金流（向下箭头表示）。

计算30天时折现因子：

B1=1/（1+3%×60/360）=0.9950

B2=1/（1+3.5%×150/360）=0.9856

B3=1/（1+4%×240/360）=0.9740

B4=1/（1+4.5%×330/360）=0.9604

（3）计算固定利率债券价值：

P（fixed）=0.98%×（0.9950+0.9856+0.9740+0.9604）+1×0.9604=0.998767

（4）计算支付固定利率方权益互换合约价值：

V=［P（index）-P（fixed）］×名义本金

=（1.1-0.998767）×＄1000000

=＄101233